On a, en vertu de la définition précédente
On sait d^ailleurs que
Les nouvelles fonctions c^ai^) jouissent de propriétés analogues :
I** On a, en effet,
tfaCw 4- coa) = g ,
d'où
(i5) ^^(^/^-(Ogj)^— -—e ^ *'(^ii.
2° En second lieu, changeons u en u -\- 2tùfx;
se reproduira, multiplié par le facteur
— e-M«w. eM.f«-«-«w«î z- — e'^*('*-^<"a^ Donc
(16) C3'a(w -h 20>a) — — e*na(« + ««>a) 3'aM.
3" Changeons u en ;/ -h a>^, [3 étant différent de a; on aura
Or
a'(M 4- toa-h top) — a'(^ — wy) =— e"-*^T" <^(w -h Wy)
Enfin, si nous remplaçons (o^, Yja P^^ leurs valeurs
— (Op— (Oy, — T^p — Tjy,
l'exposant
— TfiafwH- Y -^- wpj — 2r,y«-+-7iyfl/4- yj
se transformera en
D'ailleurs [^y] = [a^]. On a donc finalement
(17) tf„(« + a>p)=~e '^^*^6^^^ '^^yu,
4*' Changeons enfin u en M4-2a)p; e"^«" sera multiplié par e-2T)a«|i^ et rf(w + <*>«) par — e^^?^ "+<*«+ *^?\ D'ailleurs
donc
(18) (3'a(tt + 2CDp)=c«V*-^*^p)î^af/.
371. Formons les quotients deux à deux des quatre fonctions (^u, dx u^ ^2^1 ^3^; nous obtiendrons douze fonctions nouvelles, appartenant aux trois tjpes suivants :
(19) ^«0 u — -^ —^pu — Ca,
O il
^oaW
^ap"
On voit aisément comment se transforment ces nouvelles fonctions lorsqu'on accroît u d'une demi-période ou d'une période : on a, en effet,
1' / . V 3'a(M -hWa) I
f tf,a(« + a)8) = — ; := — e '-ri — *Py"'
4oO SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.
^^ ' <3'ci(w-h(«»a) UaLy ••
(24) { C3'ûi3(« -hWft) =z -— ^- =ie * :, s'vot/.
CJ'ap(«-+-co^) = -— — -— -h- — C iTî^Pa'''
l 3'ao(w4-2a)a)~ ., ^ ^ ^ r = S'^oW,
(î^3l(// -h 2t0q) 3'ao(//-h2ws)— =— t^aoW, ' 3^( « -i- 2 (ji^ )
( 3'oa(M -I- 2ojp) ~— 3'oa«,
{27) s ^oL^(u -h2i0f^)~—:ï^pit, ' ^oL^{u 4- 2t0y) = 3'3iS//.
Ainsi, sur les douze fonctions, il en est quatre, à savoir ^oLOj ^ooLj ^^Y) ^Yp) V^^ admettent la période aco^; mais elles changent de signe lorsque ii s'accroît de l'une des deu\ autres périodes awp ou awy.
Les fonctions a'ao et ^oa sont impaires, et les fonctions i^^ paires. Pour w = o, les fonctions rfpy se réduisent à -+- 1 :
3'oto devient infini, et sa valeur principale est -; '^oa s'annule, et sa valeur principale est ii] sa dérivée se réduit donc à I.
