On a, d'après les formules

d'où, en divisant par 3'?o f/,

/ :^?,-i II ~i — {ey — 6'p) 3'J;i ;/.

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 4oi

Posons, pour abréger,

Cy — es MyS (3o) .«- e^= Ma?. ^-f^ = sjg = A-î«.

Les trois fonctions snu, en m, dnu, définies par les relations

(7,1) sn« = Ma3:r,p^j^ j,

(3.) cn« = ^„?(£-J,

(33) dn« = .,3(JL),

sont les anciennes fonctions elliptiques étudiées par Abel et Jacobi. Elles dépendent des deux paramètres M^p et ky^i qu'on nomme le multiplicateur et le module. Ceux-ci ne sont définis que par leur carré, mais leur signe est indifférent. En effet, MJ-^ et ^y^ étant supposés connus, on en déduit Ca.', c^t Cy par les équations (3o) jointes à la relation ^< -f- ^2+ ^3= o* Les fonctions (^op, (J'ap» ^yP seront donc déterminées sans ambiguïté. D'ailleurs la première est impaire et les deux autres paires. Donc le changement de signe de Map n'altérera pas snu, cnu, dnu; quant à Arya? ^^ ^^ figure dans leur définition que par son carré.

Kn permutant les indices a, j3, y, on obtiendra six groupes de fonctions sau, cnu, dnu associés à une même fonction pu. Leurs six modules satisfont évidemment aux relations

Ils s'exprimeront donc au mojen d'un seul d'entre eux, A'ya, par exemple, par les formules

^«9— I — ^'«y— -^1 > ' Apa— Ti

Dans ce qui suit, nous n'aurons à considérer qu'un seul J. — II. a6

4o2 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YI.

multiplicateur, M^p, et un seul module, kyg^. Nous simplifierons IMcriture en supprimant les indices et en les désignant par M et k.