Pour M = o, on a évidemment

(35) sntt = o, sn'Mzni, cna = i, dnu=zi et, généralement, d'après les équations (29),

(36) cn*i/zzii — sn*«, dn*a=:i — Ar'sn*//.

Enfîu, snu satisfait à une équation différentielle que nous allons obtenir en transformant Téquation

p'^u = 4(pM — Ca) {pu — ep) {pu — ey).

On a, en elTel,

d'où

Substituant ces valeurs dans l'équation différentielle, il vient

<J « =: [l - (<?«- e^) ^l^ u] [l ~ (Cy- ^p) s-Jp «/]

— (i — M'G'î^w) (f — M*r-(3'îpw),

et, enfin,

(37) (sii'w)»zz:(i — sn'w)(i — Xr-sn«w).

Celte équation différentielle, jointe aux relations (36) et aux conditions iniliales (35), peut servir de définition directe pour les trois fonctions.