M, ^ AM - IM): =, + __L ..^ 11-Z

d'où

, zi: i

, -H^î)li:-i "^ 2JX— r? ^'^'

Par cette formule de réduction, on ramènera successivement le calcul de toutes ces intégrales à celui de la première

r fil 1,=: /y-p^ — arclang/.

10. On peut souvent simplifier notablement Tintégration Jes fractions rationnelles par un changement de variable.

Supposons, par exemple, que la fonction *^ — r à intégrer puisse se mettre sous la forme

m étant un entier quelconque,

IXTÉGB1LB8 INDÉFINIES. I i

Si nous posons x"'= t, d'où mx'^'^^dx ^-^ dt^ on aura

/ftÎ> ^-^ =/?(-"•)-"•- d^=--f^(t) dt.

L'inlégrale cherchée se trouve donc ramenée à l'inlégi^lc pins simple / f(l)dt.

Exemple. — Soit à intégrer l'expression Colle expression peut s*ëcrire

a 4- bx"^ X

.r'»-' dx -- . — dl.

.ir'" ( a -i- bx'**^ ) m iKci -r-bi)

Sou intégrale sera

[log/ — log(« -h />/)! -Hconsl.

-^ f log.rw— log(a 4- bx"*)\ -\- consl.

Le cas qui se présente le plus souvent est celui où la fonctiiin *\{x^ à intégrer est une fonction impaire.

Lorsque cela aura lieu, il est clair que ^ — - sera une fonr-

ilon paire, laquelle ne dépendra, par conséquent, que de ./*'-. On aura donc

n Ton pourra appliquer la simplification précédente (/;i otaiil u:\ égal à â).

1 1 . Signalons encore le cas, assez fréquent dans les applications, oîi le numérateur /(^) de la fonction à intégrer ne diiïere de la dérivée du dénominateur que par un facteur constant a. On aura immédiatement

J F(T>^=j -p^rfx-«logF(a:)^hconsL

IL — Intégration des différentielles algébriques.