Signalons encore les formules d'addition

,^. , . sn w en f^ dn f^ -h sn i' en M dn fi

^ ^^ ^ . I — /:-sn*wsn'ç'

,, ^ , . cnwcnp — sn(/ dn {/ sn(^dni>

I — A:*sn*(/sn*t'

j , . dne/dni^ — Ar'snwcnMsni'cnp

' ' 1 — A* sn* a sn* r

4o4 SECONDE PARTIE. — GHAPITRE YI.

Pour établir la première, considérons les trois fonctions

sn((/-l-f') — sn(M — v)y cn£/dn</, i — A:* sn' «/ sn* c.

Elles sont évidemment paires et admettent les périodes

communes 2Ûp, 4^a' La première a pour pôles simples les

points

±: i^-h 2/niia-i- 2/w'S2p-Hiip;

chaque parallélogramme des périodes en contient quatre.

Les deux autres fonctions ont pour pôles doubles les points

et chaque parallélogramme en contient deux.

Chaque parallélogramme devra donc contenir quatre zéros de chacune des trois fonctions. Cherchons à les déterminer.

La première s^annule aux points' ûa, Qy] car on a, ' par exemple,

sn(i2fli-h f) — sn(i2a— i')izisn(i2a-+-(^)-h sn(— 12^ — r) = o.

Comme elle se reproduit, d'ailleurs, au signe près, lorsque £/ croît de 2 ûa ou de2Û^, elle admettra, plus généralement, les zéros

et comme ceux-ci sont au nombre de quatre dans un parallélogramme, elle n'en aura pas d'autre.

La fonction cnu dnu admet évidemment les mêmes zéros.

Considérons enfin la dernière fonction ', on a

D'ailleurs

A' s»-usn*ç---- . - knVA? (^^) il? (i^)

LKMJ-^pJLnMJ-^pJ

. PONGTIO?iS ELLIPTIQUES. 4o5

Or, diaprés la formule (4)y on aura si

d'où

Donc «=:^-f-Ûp est un des zéros de la fonction i — A** sn^u sn-i- ; comme elle est paire et admet les périodes iÙ^^ ^^p? ^11^ admettra plus généralement les zéros

Ceux-ci étant au nombre de quatre par parallélogramme, elle n'en aura pas d'autre.

Il résulte de cette analyse que le quotient

en // dn u

a les mêmes zéros et les mêmes pôles que sn{u-\-v) — sn(/^ — v). Ces deux fonctions ne peuvent différer que par un facteur constant, qu'on déterminera en posant u=-o. On trouve ainsi

, , , , , , 2snr ciM dn w

^ I — A* sn*// sn*('

Permutant u^ \> et ajoutant Téquation ainsi obtenue avec la précédente, on obtiendra la formule (Sg).

376. Les formules (4o)et(4i)en sont une conséquence immédiate. On a, en effet,

en* ( « -t- (' ) := I — sn' ( // -h (' )

(i — k^ sn*w sn-ç»)' — (sn h cnt'dn v -f- sxïvcuu dnw)*

~ (I — /r^ sn*w sn^i')*

Or on a

j — k^ sn-£/ sn't' zz: cn-w 4- sn't/ dn'c zn cn'(^ H- sn*(>dn'w.

4o6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

Remplaçant donc au numérateur le terme (i — ^^sa^asn^r)-

par

(cn'a -hsn*Mdn*(^) (cn*i» -h sn'i' dn'tt),

il prendra la forme

(cnu CDC — sn(/dn(/sn(^dnr)*.

Extrayant la racine carrée, on aura donc

cnc/cnc — sn;/ dn;/ sn(^ dnt'

__^ — =z±:cn(// -h r)«

Pour fixer le signe, on posera v = o. Le premier membre se réduisant à cnu^ on doit prendre le signe -+-. L'expression de dn(w + r) se vérifie de même.