V. — Les fonctions Oi^, Oat

377. Jusqu'à présent, nous avons désigné par acOf, .'îco.j. 2 (1)3 trois périodes quelconques formant un triangle primitif. Dorénavant nous les supposerons, pour plus de simplicité, numérotées dans l'ordre où elles se succèdent lorsqu'on tourne dans le sens direct autour du triangle, de telle sorte

que le rapport t = — ait sa partie imaginaire positive et que,

par suite, on ait [12] = 4- i .

378. Si l'on change u en u -\- 2^ù^^ chacune des fonctions <iii, <ia.u se reproduit (370) multipliée par un facteur égal au

ifj,««

signe près à e^^u(«+«i^ La fonction e**^» se reproduit aussi, multipliée par cette même exponentielle. Chacune des quatre fonctions

^ ^" ^ ICO. ^ „ ^ JW

se reproduira donc au signe près.

Ces expressions sont d'ailleurs homogènes et de degré

FONCTIONS BLLIPTIQUBS. 4o7

zéro en a, coi, (O2 (car ^\^^=^(ù^ esl homogène de degré — i). Elles ne dépendent donc, en réalilé, que des deux rapports

Posons, pour abréger l'écriture,

\el, plu

IllT J\

S généralement, e '" = q"^)\ nous pourrons écrire

379. Les noavelle"s fonctions ^, Ja ainsi introduites sont des fonctions uniformes de la variable z (q étant considéré comme un paramètre constant). Car à une valeur ^o de z correspondent des valeurs de {^ données par la formule i^o-\- 2m(m entier) ; les valeurs correspondantes de u seront iiQ-b im(ii^ et donneront les mêmes valeurs à chacune des fonctions rf, cfa, puisque le changement de « en w + 2C0| les reproduit au signe près.

En outre, F, Fa sont des fonctions entières de ç', qui, luimême, considéré comme fonction de 5, n'a d'autre point critique que z = 0. Donc les fonctions J, "f^ n'ont que ce seul |)oint critique et seront développables par la formule d<* Laurent en séries convergentes, procédant suivant les puissances entières positives et négatives de z.

Si u croît de 2(0|, vse changera en r 4-1, et .3 en — z, L'ex-

ponentielle e *"• se reproduira, multipliée par e"^^'^"''""»^ (iii, (^1 M seront multipliés par — e^^^^""^***»^ et (3'2W, ^3^ par ce môme facteur changé de signe (370) 5 nous aurons donc

I ^'îC— -,^)— ^î(-,7), .T'ai— 5,7)— S.,(—z,q).

4o8 SECONDE PAETiB. — CHAPITRE TI.

Enfin, si u croît de awj, ç se changera en i^ + t, et 5 en qz. L*exponentieIle e ***• se reproduira, multipliée par

ou, en remplaçant 7)i 0)2 par sa valeur tirée de Téquation

par

D*ailleurs (S'e/, (3*2 2/ se reproduisent, multipliés par — <j2Ti,(tt+a),)^ Ql d^u^ d^u se reproduisent, multipliés parle même facteur, changé de signe. Nous aurons donc