I :f^(qz,q)=z—q-'z-Kit{z,q), ^^{qz, q) —q'^ z-^' ^^{z,q
380. Les propriétés (3) et (4) (jointes à la condition d'être uniformes et de n'avoir de point critique que pour z=io) suffisent à définir les fonctions cf, rf, , ^2> ^s à des facteurs constants près :
1^ £n effet, considérons d'abord la fonction rf(w, (/). D'après les relations .(.i), elle sera impaire en ;;; son développement en série sera donc de la forme
Substituons ce développement dans la première des formules (4); il vient
et, en identifiant les termes en 5^""*,
i—iY ('«+;)*<7~*A.
PONCTIONS BLUPTIQUB8. 4o9
Si donc nous posons
nous aurons
^(v,-z) désignant la série
— ae
A chaque valeur positive ou nulle de Tindice n est associée une autre valeur négative — n — i, à laquelle correspond le lerme
Réunissant les termes associés, nous obtiendrons cette nouvelle expression
« / Il
{^y bis) 6(r, t) HZ 2 \ (— i)'»^^ *• sin(2/z -h 1)111',
où rimaginaire 1 a cessé de figurer.
'i** Passons à la fonction .f,. D'aprrs les relations (3), elle sera impaire en 5, et de la forme
Substituons ce développement dans la seconde des relations (4); il viendra
d'où
4lO SBCONDR PARTU. — CHAPITRE VI.
Posant donc
nous aurons
H, (v, t) désignant la série
^^ 2 y q^' ''^ cos(2^i -H i):rr.
3'* La fonction ^2 sera paire en z et de la forme
te
Substituons ce développement dans la troisième rela lion (4), il vient
cl, en identifiant les lermes en 5-""^, C. — ^î/i-ip
Posant donc C„= C, nous aurons 02(t'iT) représenlant la série
^tnmV
6,(1-, t)=y(— O'^-'s'-rrV (-OV/"'
:= I 4- 2 \ (— l)" *C0S2nitf.
4" Enfin la fonction ^3 sera paire en z, et diaprés la dei-
POMGTIOlfS BLLIPTIQUES. 4'>
nière relation (4), on aura
^,= De,((%T),
h^ivj t) désignant la série
381. Les séries 0, 9|, Oj, 83, définies au numéro précédent, ont été introduites dans TAnalyse par Jacobi; mais la notation qui doit servir pour les représenter n'est pas encore bien fixée. M. Weierslrass, suivi par M. Halphen, les désigne respectivement par 3|, S^? 2^oj S^s» P^^ ^^ changement d^indices que nous avons pris la liberté de faire, on rétablit le parallélisme des notations entre ces fonctions et les ^ correspondants.
382. Si nous remplaçons q par sa valeur e^", chacun des termes des séries 0, 9^ sera de la forme
a et X étant des constantes. On aura évidemment
(h ov^
d'oii
Les séries 6, 6^» étant des sommes de ternies de ce genre, satisferont évidemment à cette même équation aux dérivées partielles; et leurs dérivées y satisferont aussi.
383. Lorsque nous n'aurons pas à faire varier le paramètre T, nous pourrons le supprimer dans l'écriture et désigner les séries ci-dessus par 6i^, . . . , Ôa^S et leurs dérivées (relatives à r) par 6V, 6"i', . . . , Ô^r, .... Dans le cas excep-
SECONDE PARTIR. — CHAPITRE Vf.
tîonnel où t sera variable, les dérivées relatives à t seront
représentées suivant Tusage par —» • • ••
D'après les expressions données ci-dessus pour 6, . . ., Ox» on aura évidemment pour 1^ = 0, d*où 5 = 1,
Oo
e'o = 21:^ {— i)" q^" ^ '* ('in -hi).
384. Si Ton fait croître u de w,, 0)3, Wj, t> croîtra respectivement de ^, Jt, — ^ — ^T, et 5 sera respectivement mnl-
tiplié par /, q^y — iq ^. Ces divers changements permuteront les unes dans les aulres les quatre fonctions B, à de> facteurs exponentiels près, comme l'indique le Tableau suivant :
ix)r- — tV/ *jf).
■--i-^)= ^'^sft.'-. «>i('--;-î-)^-«v"'-''
On a, on effet,
D'autre part,
(,'xpression qui se réduit à iq ^j^'O^^ lorsqu'on j change rindice de sommation n en n — i.
On a encore
e(r-l-J,)=;^(-,)'.<,r(''^î)(/y-'5r"' Les autres formules se vérifient avec la même facilité.
385. En ajoutant une seconde fois à la variable l'une ou Tautre des quantités 7, 7T, — ^, — ^t, on obtient les formules
^ j e (t'-+-i) — -e ç', ei(r-+-i) = -o,r,
J 0 (i; — I — t)= ç-'js'O (% e,((' — I — ':)=ii— 7-'<s«eiC,
4l4 SRCONDB PARTIE. — CHAPITRE VI.
