On a, d'après le n

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— rxM

TQ,M«

«*^» O'itf

nBO,

vil M*

11 reste à délerminer les coDslantes A, B, G, D. Pour cela, posons dans les trois dernières équations v = o, d'où m = o; elles deviendront

I r=. BOi(o), 1 z^ Ge,(o), I = D0,(o).

La première équation devient identique pour 1^ = 0. Mais supposons {f infiniment petit, et calculons les deux premiers termes du développement des deux membres suivant les puissances de ç] nous aurons

= — =ZÇ -{- CliV*-h. . ,.

Le développement du premier membre sera donc Gelui du second membre sera

et l'identification donnera

i=iA6'(o), 2TliC0ir= — A— ~-^

FONCTIONS ELLIPTIQUES. I\l5

Nous aurons donc finalement

(.8) :fa«- «*"•"■'" ô^j'

la constante 2T,,w, étant donnée elle-même en fonction de </ par la formule

(.9) """"'^-êe^)-

Par ces formules, du^ddU seront donc exprimées en fonction des trois variables Wi, q^^ v^ qui elles-mêmes sont liées à a>i, 0)3, u par les relations