J - IL

On aura de même

fudlog^{u)

= I ud\og^{u) — (a -h 2Wt) d\og(^{u -h 20)2)

J^I/o + tCD, ' ( a -H 2 tO, ) C? log (p(M-l-2 0Dj) — MC? log Ç ( W )

— K^u du — 2(1), û?logp(M H- 2a)j)

AjM ûf// -+- 2(uiC?log(p(w -H 2(1),) ».

— 2Ci3,[Iog(p(«o-h2C*),-h2C*),) — log 0(1/0 -{-2C0j)]

(f/o-h2fa)t)'— ni

-H 2a)i[logcp(Mo 4- 2(0,-1- 2a)j) — log«p(i/o 4-2w,)J =:— 2a)j A,(//o-l- Wi) — 2w,[A,(ao-f- 2ci)j) -h B,H- 2/;I|T:/]

4- 2CD,Aj(wo4-<«>t) 4- 2(D,[A,(Wo-H2(Di) -h B,-h 2 m,iri] = 2(i)i(A,a),-h Bj-i- 2/?i,iri') — 2(«)j(A,(«), -h Bj-h 2miTt/).

Nous obtenons donc les deux relations fondamentales

(2) 2(i)2Âi — 2Ci3j A, =1 211/(1^ — ^)

,.,, ( 2w,(A,a)iH-B, 4- 2/11,^0

( — 2(i),(Aja),4- Bi-H 2mjir«') — 27ri[2a — 2 6].

403. Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra construire une fonction admettant les zéros, les pôles et les multiplicateurs donnés. Posons, en effet,

C^est une fonction de troisième espèce, ayant les zéros et les pôles demandés, et ses multiplicateurs seront e^»""^^',

^M./n-N,^ en posant, pour abréger,

Ml a -h Ni = (4^1" H- 4<«>î)* -H 2 0), 3

A [2T)i(m — ^^-hW,) — TCt],

M, M H- N,=: (4«*>fW -1-4^5 )«-H2a)jP-f-

Ces multiplicateurs seront respectivement égaux à e^«"-^^', ^AjM+B,^ si Ton détermine a, ^ de manière à satisfaire aux équations

f 4a)ia -h 2T,,({A — v) = A,,

-+- (2Tij(Di — Tzi){[J- — v) := bi 4- 2mi'nz,

4<«>ta -^ 27), ( «x — V ) — A„

4(i>*a + 2ct)2P — 2 71, (Sa — 2^)