t-(27),w, — ir/) ((X — v) =: B, -+- 2mjiri
Pour que ces équations soient compatibles, deux conditions sont nécessaires; on les obtiendra en éliminant a, ^.
En tenant compte de la relation tjiWj — r,2C0|= — > on
retombe ainsi sur les équations (2) et (3), qui sont vérifiées, par hypothèse.
Toute autre fonction ^i{u) admettant les mêmes zéros, les mêmes pôles et les mêmes multiplicateurs que f{u) sera de la forme C'^(w), G étant une constante; car le quotient — — - est une fonction elliptique qui n'a pas de pôle.
40i. Il résulte de ce qui précède qu'une fonction de troisième espèce qui n'a ni zéro, ni pôle est de la forme
Pour une fonction ç(a) de seconde espèce, on a et en vertu de l'équation (a)
[JL HZ V.
Les équations (4) donneront ensuite
Les fonctions de seconde espèce ont donc autant de zéros que de pôles, et leur expression générale est
40o. On obtient de nouvelles expressions des fonctions
de deuxième et de troisième espèce par les considérations
suivantes :
Soit 'f (m) une semblable fonction, ayant pour multiplicateurs e^i"-^-Bi^ ^A.«-*-B,
Posons les constantes a, ^ étant déterminées par les relations
<^i(^) sera une fonction analogue à ^{u)^ ayant les mêmes zéros et les mêmes pôles, mais dont le premier multiplicateur se réduit à l'unité. Soit e^""^® son second multiplicateur.
Si \ = o, <pi(w)sera de seconde espèce. Laissons provisoirement ce cas de côté, et posons
B . . (uj
//T=:2to.l^ — -- ) 2(i)iA=:3 — 2/mri, = "^ ;
A Wj
cpi(w) se changera en une fonction ^(^'), et les relations
«Pi(w -h 2 0),) = «p, W, Oi(// -h 2ti:,) zz: e^""»"^©, w
deviendront
(6) ^'(r+ i) = Vf, V(i' -hT) z=e-S"«w'«'Vr.
Nous donnerons à ces fonctions particulières ^*(^) '^ ^^"^ de fonctions réduites. Le nombre m se nomme V ordre de la fonction; c'est un entier (positif ou négatif), car la formule (2); appliquée à ce cas particulier, donne
m = jx — V.
406. Ces fonctions réduites ont été construites par M. Appell de la manière suivante :
Posons, comme précédemment,
cr — ^ , er — ^/ ,
^'(i) se changera en une fonction de z. Cette nouvelle fonction y( .3) sera uniforme, car, en vertu de l'équation
à toutes les valeurs de v qui correspondent à une même valeur de z répond une même valeur de la fonction. De plus,
r = — Ao^z n'admettant qu'un seul point critique z = o,
y*(3) n'aura pour points critiques que des pôles correspondant à ceux de ^(i^) et le point essentiel 5 = 0.
Enfin les équations (6) se transformeront dans les suivanles
Il s'agit de construire les fonctions y(2) qui satisfont à ces relations.
407. Supposons en premier lieu m positif, et admettons, en outre, que la fonction ^(^) soit entière; /(>3), n'ayant d'autre point critique que js = o, sera développable par la formule de Laurent, mais elle est paire; le développement sera donc de la forme
En le substituant dans l'équation
nqz):=-.z-^"^f{z), il viendra
ce qui donne pour déterminer les coefficients A^ la formule récurrente
A A Ai*"
Les coefficients Aq, A|, . . ., S.m-\ restent indéterminés. Soit A;, l'un d'entre eux; on aura
r+«i/i — '^ry
--- \ rt-rn-i-mnn—l)
Si donc nous posons
. te
l e;.(c)-— \ ^»r/i4»iii(«-l)5Î(r+i
-/nn)
\ ^m/i(/i-l) -J/««(gî« «S)r^
la forme générale des fonctions cherchées sera
tn-i
ou, en revenant à la variable primitive v et désignant par
Tr(i') ce que devient alors 6r(^)>
(lo) 'r(i.) = yA,T,(t').
Si, au lieu de grouper ensemble les termes dey(5) qui correspondent à une même valeur de r, nous groupons ceux
pour lesquels n a la même valeur, nous trouverons
P(;î) = Aq4- A| z 4-.. .-h A«i s*"""* désignant un polynôme arbitraire de degré m — i.
408. Les fonctions réduites ^(i^) d'ordre m ayant v pôles /^i , . . . , 6v et m H- V zéros a^J . . , Um^y admettent une représentation analogue, où le polynôme P(^) est remplacé par une fonction rationnelle B.(z) ayant pour numérateur un polynôme P| (z) de degré m + v — i et pour dénominateur le produit
Posons, en effet,
1® Cette série sera convergente, sauf pour les valeurs de z qui rendent infini l'un de ses termes. En effet, {^| étant <^ I et m > o, la racine /i**™* du terme général tend vers zéro si n tend vers + oo, et il en est de même pour la racine — n**^"® si n tend vers — oo.
2° C'est une fonction paire de z. D'autre part, si l'on change z en qz^ chaque terme se change dans le suivant, multiplié par z"^'"; donc
/t(~^)=/i(^), Mqz) = z-^^Mz)
et V| (i^) est une fonction réduite d'ordre m. 3*^ Ses pôles sont aux points pour lesquels on a
ou
pïnw/T+twiV — pinih.
44o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YI.
d'où
n, n! étant entiers. Ce sont les pôles de ^(i').
4** C'est une fonction entière et homogène des m -f- v coefficients, encore indéterminés, du numérateur Pi(>s). On peut déterminer les rapports de ces coefficients de telle sorte que ^*i(r) s'annule pour v =i a^^ a^^ . . ., am+v-i-
Cela fait, le quotient -—- ^ sera une fonction elliptique
n'ajant pas plus d'un zéro; ce sera donc une constante. Mais Vi(i^) contient encore en facteur une constante arbitraire; on pourra la choisir de telle sorte qu'on ait W, (i^) = ^*(«^').
