k — i) div

-h . . . -f- >Fi (\

Le reste W^ (ç) sera évidemment une fonction réduite entière d'ordre m et pourra se mettre sous la forme

410. La fonction ^((^, w), qui nous a conduits au résultat ci-dessus, va également nous servir à construire les fonctions réduites où m est négatif. Pour cela, il nous faut considérer w comme la variable et (^ comme un paramètre. La fonction n'aura dans le parallélogramme qu'un seul pôle simple, w = Vj et ce même point sera un pôle double,

triple, etc., pour les dérivées -=--, •••> -^r-* ' •" prises par

rapport au paramètre if.

Posons, pour abréger,

la fonction prendra la forme

— as

On a évidemment

Changeons, d'autre part, t en qt et remplaçons en même temps rindîce de sommation n par /i + i, il viendra

= 21CJ V^'"»(''-*'5"»''r* V (^.«'"s»)'-i«('»-r-l

= 2ic« y e,.(3)^*{'«-'").

En repassant des variables auxiliaires z, t aux variables initiales v, (v, les relations (ta) et (i3) deviendront

iir((,, tv -h t) — e*"»'^"''V(f', (v) — 2Tzi \ T;.(v') e*^"»-''^

En les dérivant par rapport au paramètre v, on aura plus généralement

nt — 1

__ eJ/««itv <^ Y^^' "= ^'^** y '^^*' ^^^ ^*""~'"

— r;icv«v

PONCTIONS Ei.LlPTIQLBS. 443

iH . Cela posé, considérons une fonction rédiiile 'i(V où le nombre v des pôles contenus dans le parallélogramme surpasse de m unités le nombre des zéros. Soient v^y (^j, ... ces pôles; k^ l, . , . leurs ordres de multiplicité respectifs.

Formons l'expression

S (!»'):= AiV(r„cv)4-A2^i-V^- -H A

ÔVi 0\

+ B. V(,.„ .V) + + B, ^^rf —

Elle admet les mêmes pôles, avec le même ordre de multiplicité. De plus, on a évidemment

(i4) S(iV-M) --:S((r),

(i5) S((v -HT) — e«"»«'"'S(w) --- 2Tr/y Ure*^'"-'*)^''"',

en posant, pour abréger,

Disposons des v constantes A, B, . . . de manière à satisfaire aux m équations

Uo — o, IJi — o, ..., U,„i = o.

L'équation (i5) se réduira à

Donc S((v) sera une fonction réduite d'ordre m, ayant les mêmes pôles et les mêmes multiplicateurs que i^sv. Elle dépend encore linéairement de v — m constantes arbitraires, dont on peut déterminer les rapports de tette sorte qu'elle

admette v — m — i des >3éros de A(v. Le quotient | — sera

donc une fonction elliptique, n'ayant pas plus d^un zéro. Ce sera donc une constante.

4<12. Passons aux fonctions de seconde espèce, dont nous avons réservé Téliide (40o). Soit ©<« une semblable fonction, aux périodes 20)4, 'ico^ et aux multiplicateurs i,^*^-

Posons

u =1 20)1 r, t^yu^=- tir.

La fonction i^{v) aura pour périodes c, t et pour multiplicateurs I , e^. Soient a» , , . .^ a^ ses zéros et 6j , . . - , b^ ses pôles dans le parallélogramme des périodes ; posons, pour

abréger,

Sa — S6=: — s.

On aura, d'après la formule (3),

Supposons d'abord que s soit une période, telle que n-\-ns': {n, rii étant des entiers). Posons

On aura évidemment

X(ïM- 1) ^{v H-i)

Donc '^^ç est une fonction elliptique, que nous savons construire.

413. Passons au cas général, où s n'est pas une période. Nous poserons

^j(^v admettra les mêmes zéros et les mêmes pôles que ^v et ses multiplicateurs seront

PONCTIOKS ELLIPTIQUES. 44^

Celle fonction réduite x(^) sera de la forme

Car le second membre admel les zéros a, les pôles b el ses raultiplicaleurs sonl

Son rapport à y i^ esl donc une constanle, qui se réduira à Tunilé par un choix convenable de C.

414. Considérons parmi les fonctions réduiles la fonction parllculière

Elle a un seul pôle r = o, pour lequel le résidu est égal à i . On voit d'ailleurs, en dérivant les équations

que F'(p), F^'(('), ... sonl de nouvelles fonctions réduiles. Elles admetlenl encore le pôle unique zéro, el leurs développements aux environs de ce point auront respectivement pour parties infinies

Toutes les fonctions réduites yi^ sont exprimables à l'aide de cet élément simple. Soient, en effet, 64, ftj, ... les pôles distincts de yv dans le parallélogramme, et

les parties infinies du développement de y (i') aux environs de ces points. On aura

446 SECONDE PARTIE. — CDAriTRE VI.

Car la différence des deux membres est une nouvelle fonction réduite n'ayant plus de pôles; elle sera donc de la forme CeP"; mais de plus C sera nul. En effet, s'il ne Tétaii pas, celle fonction aurait pour multiplicateurs eP et e^': mais ces multiplicateurs doivent se réduire à i ete""*^'; on devrait donc avoir

et, en éliminant ^,

s --- — /iT -+- /i, :

s serait donc une période, contrairement à l'hypothèse.