PU=- L

et, comme p(u -j- Wa) est une fonction paire,

p(M + Wa)=:j)ci}aH-p'a)a h...

=rea-f-(6e5 — l^j) — ^ 4-

Identifions ces développements avec ceux des seconds membres. La comparaison des termes constants donnera

o=-4rnCO,+ -3-8^«2TZr^

*^') «.= fe)"(-*'- -«"îr^

,.(!.)■[,,... -..|'-3il^].

En poussant plus loin ridenlification, on obliendrait d^ même l'expression des quantités g^^ ffs, glj e^, ....

i2G. La comparaison des expressions ainsi obtennes avec celles déjà trouvées par d'autres voies donne des idenlitës qui fournissent des théorèmes arithmétiques remarquables. En voici un exemple :

On déduit des équations (87)

Mais cette quantité est égale (391) à

On aura donc l'identité

"* tnq^'^

gim

IjC premier membre développé est de la forme

Si donc on réunit les termes égaux, le coefficient du terme en q^ sera égal au nombre S des solutions en nombres entiers de l'équation

n^ H- /ij -h nj H- nj = N.

Considérons le second membre. Le terme ^—z- peui

être développé ainsi

et fournira un terme en q^ avec le coefficient m, si m est un diviseur de N, tel que le quotient soit impair.

Soit N == 2^1, l étant impair; il sera nécessaire et suffisant pour cela que m soit de la forme 2^8, 8 divisant I. Le

coefficient de q^ dans le développement de \ ^"iJH ^^^^

donc 2^S8, la sommation s'étendant à tous les diviseurs del.

On a, d'autre part,

Ce développement contient un terme en q^ avec le coefficient ( — \)^m si 2/n divise n. Cela ne peut avoir lieu si X = o, auquel cas N = I est un nombre impair. On a donc,

dans ce premier cas,

Soit, au contraire, X>o; 2m divisera N si m divise 2^-* I, et par suite, si m est de la forme 2^*8, [jl pouvant varier de o à X — I. D'ailleurs, ( — i)'" sera positif si [Ji>o, négatif si |JL = o« Le coefficient de q^ dans le développement de

7 T^ — sera donc

2^-* ZS -h 2^-* 2$ -+-... 4- 2 28 — 28 = (a^— 3) 28,

et Ton aura

VIL — Dérivées par rapport aux paramètres.

427. Jusqu'à présent, nous avons traité (01, coa comme constants, de telle sorte que les fonctions p, Ç, (rf ne dépendraient que d'une seule variable u. Supposons maintenant coi, CO2 variables; continuons à désigner par j)', p'', ...; XJ . Ç", ...; ^', <^', ... les dérivées prises par rapport à a, et cherchons à déterminer les dérivées partielles -r^-, 3-^j ••• prises par rapport aux deux autres variables.

Soil / l'une quelconque des fonctions considérées; elle est homogène d'un certain degré X en u^ o>4, cos; on aura donc cette première relation

0), -r^ H- (0, —^ + Uf'= X/.

Il suffira donc, pour calculer v-^ -^—^ d'obtenir une nouvelle relation entre ces quantités.

428. Considérons d'abord la fonction p. Désignons par pi, Çi ce que deviennent j) et Ç lorsqu'on y remplace u par //i = M -h ami (0| H- 2/722(1)2. Nous aurons

et en prenant les dérivées partielles de la première équation par rapport k u, to^, (02, dont p^ est une fonction composée,

En combinant ces équations, on trouve aisément ^ ^.Pt . ^ <^Pt . „/r — ^ ^P -u^ ^P -ur.'r

Cette équation montre que la fonction

est une fonction elliptique aux périodes acoi, 2(1)2. Nous allons chercher ses pôles.

On a, par définition,

^ tt* ^ L(" — 2mia)i — 2/n|i02)* {2mi(«)i -+- 2mj(i),)*J '

d'où

àp^ :-\'\ ^^!!b , ^lHi 1,

série convergente qui s'annule pour u = o, et ne peut devenir infinie que si w = période. On trouve une expression

analogue pour -, — ; enfin p' et ^ ne sont infinis que pour

n ■= période. Le point m = o sera donc (aux périodes près) le seul pôle de F.

On a, aux environs de ce point,

trou

D'ailleurs

donc

^--^.^■hgi-^-''

F-t-ap* — i^,= o,

car le premier membre est une fonction elliptique sans pôle, et qui s'annule pour w== o.

Désignons par D l'opération

nous aurons

(Dp — ap'Ç — 2F =2p'C-+-4p'— l^î

''^^ \ =2(pÇ)'+6p«--|^-,= 2(pîy-hp''-i^,.

429. Substituons dans cette équation pour p et Ç leurs développements

p=-îi + ^««-h^M^Hh-^««^-..., Ç=--fîw»-....