Intégrons Téquation (2) par rapport à u; on trouvera

(7) I>C = -2pî — p'4-i^,«.

On n'a pas à ajouter de constante arbitraire, car, en substituant à Ç, j3, p' leurs développements, on voit que les deux membres s'annulent pour m = o.

Intégrons encore une fois, il viendra

(8) Dlog(^zz:î>-pH.Jj^,a»,

les deux membres s'annulant encore pour w = o. Mais on a évidemment

L'équation (8) pourra donc s'écrire ainsi

(9) Dtf=zV+^^,«'!^.

En substituant dans cette équation aux dérivées partielles le développement

a* zz: tt -h é/j «• -i- rfj a' H- . . . ,

l'identification donnera une formule récurrente pour le calcul des coefficients d^^ e/^?

431 . On a évidemment, d'après la définition de l'opération D,

(10) Da)a=— 271a (a~i,2, 3),

-. (o, D(Os — (Oj Dw| — acOf 7),-f- 2(o,r|f tzi

(11) Dt = = = - .

COj tu} lOj

D'autre part, f{u) désignant une fonction quelconque de u, a>|, (1)2 et u^ une valeur de u qui soit fonction de o>i, (L>2, la règle de dérivation des fonctions composées donnera

D/(w,)Tz:[D/(«)]„=„.+ /'(Mi)Da,.

Appliquons cette formule aux expressions

En remarquant que j3'(0a=o, p^Wa^^eJ — ^^2, il viendra

(11) DT,a = — 2ea7ia+ J^t^a + ^a.2Tfia = |^,a)«,

(i3) Deot=i4«â — f^i;

puis

Dlog(ep — Ca)

— ^ =4-^ z=z4(ep-l-ea)=— 4

ey,

et enfin

) i^ = DlogUa=^Dlog[(ep-ea)(ey-e„)] * ( =i(4ey-i-4ep)=— Ca.