Exemples. — [. Supposons que y soit dcGni par Téquation
-f- a >""-' -r- fjjy "-* H- . . . 4- /.-.r'"-* — o.
Posons ^' = ^^; Téquation, débarrassée du facteur commun a:*""', donnera
__ «/'"-» -h ^/"'-«^-...-hX-
d'où
. __ at'" -h Ot^-^ -h^ i:^^'
INTÉ6BALBS IKDÉPINIKS. l3
Od pourra donc intégrer loiilc expression de la forme 11. II. Considérons l'înlégrale
où /«, /?, m'y /i' sonl des constantes, a, bjC. ... des nombres coinmensurables, et/ une fonction rationnelle. Soit [x le plus petit inulliple des dénominateurs de «, 6, r, .... On posera
ma: -^ n „ . = tv-.
tn'u- -+- ft
'l'où
Substituant, l'intégrale devient /'./.. ../ .. "''"^ — " \ mn' ~ uni' .. . ,
// /M-^, ^^*'^/s*^ ..., — ,-,. - - ) - , \Li^-^dt,
J\ ' ' ' ' mtv-mj {fn'tv- m)-' '
•>ù tout est rationnel, ul, [xti, jx^, ji.r. . . . étant des entiers.
15. IJI. Différentielle binôme, — On donne ce nom à l'expression
•>ùfl?, /i, p sont des nombres couimensurables et ^/, b des
constantes différentes de zéro.
l\)sons
bx" — nt,
•l'oii
Sidistiluant ces expressions, et |:osant pour abré.;cr
l4 SECONDE PARTIE. — CHAPITBK I.
la dîfljjSrenllelle sera transformée, à un facteur constant pivs, dans la suivante
qui ne dépend plus que des deux paramètres /> el q.
Cette nouvelle différentielle peut être reodoe rationnello, d'après le numéro précédent, dans les trois cas suivants :
I** Si ^ est entier;
'2'' Si q est entier;
3® Sij9 -H y est entier.
En effet, dans ces diverses hypothèses, t^{i -f- ^y sera respectivement le produit d'une fonction rationnelle de / par une puissance fractionnaire de Tune des trois quantités /,
I 4- ^ — ; — > toutes comprises dans la forme générale
mt -{- n
En dehors de ces trois cas d'intégrabilité, la différentielio binôme ne peut être rendue rationnelle, et son intégrale
représentera une transcendante nouvelle.
16. La décomposition en éléments simples et rintégnition par parties fournissent aisément des relations entre cc> intégrales.
En effets on a tout d*abord
Intégrant, d'autre part, l'identité il vient
(2) {g -hi)i^,,-hpip.t,g^i= 0-^'(i -^ ty\
Eliminons I;,i^y^i entre les équations (i) et('4), il vieiil
1NTÊ6AALIS 1ND6FIMKS. i5
et, en changeant p enp -\-i,
[A) Ot>4-7-+-a)I,,».,.^-(/>-hl)I;,^r=:/7^-»(r4-0"''.
Eliminons, au contraire, I^^ et changeons /> en /> + i ; il viendra
el, en changeant q en q — i ,
Ces formules permettent de ramener la recherche de Tintégrale Ipq à celle d'une intégrale de même forme Ip^^ où /)', y' soient ^ o, mais ^ — i .
EneOet, si j9 < — i, la formule (4) ramènera le calcul de ^pq à celui de Ip^i^^; répétant cette réduction, on finira par itrriver à une intégrale où le premier indice est ^ — |.
Si q <C — I , la formule (5) ramènera de même I^,^ à 1^,^+1 ; réitérant cette réduction, on arrivera à une intégrale où le second indice est > — i.
On est ainsi ramené aux intégrales Ipq, oiip^ — ' » ? > — ' • Dans cette hypothèse, si Pun des indices p o\x q est positif, p-r-q-hi ne sera pas nul, et l'on pourra, au moyen de la formule (3) ou de la formule (6), l'abaisser d'une unité, et répéter cette opération jusqu'à ce qu'il devienne nul ou né- ;:atif, mais >> — i .
Supposons donc que p et q soient tous deux ^o, mais ~ — I . Si/> r= o, mais ^ >► — i , la formule (3), qui se rcdiiil à
iq-i'Ohq^i''^',
donnera l'intégrale cherchée. De même, si p^> — i, q = o, l'intégrale sera donnée par la formule (G), qui se réduit à
Enfin, si l'un des indices /> et q^ ou tous les deux, sont é^^'aux à — I, on se trouvera dans un cas d*iutégrabilité. niais les formules de réduction seront impuissantes et, pour
l6 SECONDS PARTIE. — CHAPITRE I.
calculer Tinlégrale, il faudra recourir à un changement de variable qui rende la ditTérenlielle rationnelle. La réduction opérée n^en aura pas moins été fort utile, en simplifiant Texpression de la différentielle sur laquelle on doit opérer.
17. IV. Soit proposée l'intégi*ale oii/cst une fonction rationnelle, et où y représente le radical
Considérons la conique
y = \ A .r- -h i 13 .r -i- Ci,
et soient ix et v = y/A[x*4- aBjjL -[- C les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe. Par ce point, faisons passer un faisceau de droites définies par l'équation
Chacune de ces droites rencontrera la conique en un seul autre point, dont les coordonnées seront exprimables en fonction rationnelle de la nouvelle variable t.
Pour déterminer ces coordonnées, nous aurons les équations
j*— Ax^4-3B.r-hC.
Eliminant y, il vient
[f{jL' - ;x) + v]- ~ V.r- 4- '>.Ba,' 4- C.
En effectuant les calculs et remplaçant v'-' par sa valeu \ [A^ -i- B;x -h C, il viendra
r-ix— |x)«-4- îiv/(j7— |x) — \jc'*--h 2B,r - A;i2— 2 B ;x,
et, en supprimant le facteur commun x — jx,
t^(x— ;x) -i- 2v^ r= A(a.* -h ;x) -h aB.
UiTÉGRALBS INDÉFINIES. 17
On en déduit
tlx s^ea déduira par difiereutialion et y par Téquation
Ces valeurs, substituées dans la diOerentielle proposée, la rendront rationnelle.
18. Le point (pi^v) pouvant être pris arbitrairement sur lu conique, la transformation peut être variée d'une infinité de manières.
1" Choisissons, par exemple, Tun des points où la courbe coupe Taxe des x. On aura v=-- o, et la nouvelle variable / >cra donnée par la formule
• 'ù ;x désigne l'une des racines de l'équalion
2* Choisissons l'un des points où elle coupe l'axe des r. ()n aura [x --z o, v ~-^ y/C, le radical pouvant être pris avec le >igne qu'on voudra, et la formule de transformation sera
y — y'Tj = ijc.
'^'^ On pouirait encore couper la conique par un faisceau <lc droites
y =ix\/\-h l,
parallèles à l'une de ses asymptotes. On aura, dans ce cas, pour déterminer l'abscisse du point d^intersection, l'équalion
Xjr^-^2B,r-^C—y' — (.r s,/\ -h t)\ 2 B j:- 4- C — 2 /J7 v"^^^ -'- ^*>
l8 SECONDS PARTIE. — CHAPITRE I.
Le signe de y/A peut être choisi à volonté dans celle formule.
19. Il est en général, avantageux, avant de rendre ralioiinelle la difTérentielle
/Çtj V/Aur--+- aB^" -+- C) dxy
de la simplifier par une substitution de la forme
X :=:z ni -\- n z , On en déduit rfj; = ndz^ et l'expression à intégrer devieni
fym -\-nZy \j kn-z^ -h {..ikmn -\- i B/t ) z H- \m* -t- '2 B/n -h C ] /^ d:-.
Cette expression est analogue à Texpression primitivp; mais elle contient les deux indéterminées m, n, qui pourront être choisies de manière à simplifier l'expression du poljnôme sous le radical.
Nous ferons tout d^abord disparaître le terme en ;;, rn
posant
iKmn h 2B/i = o,
d'où
Nous pourrons ensuite disposer de n de manière à donner au coefficient A/i^ de z^ une valeur arbitraire (sans toutefoi'^ pouvoir changer son signe, si nous voulons que n reste réel ». Quant au dernier coefficient, il aura pour valeur
V 2 n ^ AC-B*
A /W* -+- 'i Bni + C rr: — .
