Prenons p, ^2, ^3 pour variables indépendantes au

FONCTIONS BLL1PTIQL£S. ^65

lieu de w, ^2, g^; nous aurons

Siibstiluant ces valeurs dans Tëquation (16) et chassant le dénominateur n^, on aura la transformée

Si n est entier et impair, ^,1 sera un polynôme entier en p, «"2, ^j; si n est pair, ce sera le produit d'un semblable polynôme par p\ Dans l'un et l'autre cas, l'équation (17) Cournira une formule récurrente pour le calcul des coefficients des diverses puissances de p.

436. Supposons qu'on ait pris pour variables indépendantes ^21 gi au lieu de (0|, W2. L'opération D étant exprimée au moyen de ces nouvelles variables par la relation

les équations précédentes donneront une première relation entre ^^> -~-y f désignant l'une quelconque des expressions considérées ci-dessus. L'homogénéité en donnera une

seconde. Supposons, en eOfet, que /soit homogène de degré X par rapport à a, coi, (1)2 ou, ce qui revient au même, parrap-

port à M, ^, *, ^, • ; on aura

df -} df -î df ,,

^^t * agi

ou

437. On peut encore prendre pour variables indépendantes A, J, V, On aura, dans ce cas,

©, étant homogène et de degré zéro, se réduira à une fonction de J, i». La dérivée -— sera évidemment égale à

La dérivée -f- sera ésrale à awi ^— : enfin, DA étant nul. dv ^ du'

•7 se déduira de la formule

(18) D/z=:^DJ-f.|^Di>.

' àJ Oi'

Effectuant à nouveau sur cette égalité l'opération D, on

aura une nouvelle équation qui fournit -r-. , ; etc.

Supposons, pour plus de simplicité, que/ soit indépendant de m; il viendra

Mais de l'égalilé

FONCTIONS KLLIPTIQUBS. 4^7

on déduit

(DJ)»=: 48( J — i) J» A.» = 48 aM( J — J) J,

/^HT » r -11 1 -11

^=4v/3A'Li(J-i) 'J*+î(J-i)*J 'J, .

^DJ = 484ijUf(J-OJ^J=48AM(7i^).

L'équation (19) devient donc

et pourra servir au calcul de ^~ •