Comme application, posons /= coa; on aura

Nous aurons donc

Soit en second lieu /" = tj^ ; on aura

= l6A'J«(J-l)^-ÎA»J',,,.

On aura donc

4^8 SKCONDB PARTIB. — CIIAPITRR VI.

el, en rodiiisnnt,

(yj- o ()ô 144

439. Si nous supposons A constant et J variable, les deux périodes (0| et (02 = t(0j satisferont, comme nous venons de le voir, à une équation différentielle linéaire du second ordre

où nous posons, pour abréger,

A=:(J-i)J, B^-^i^, Cr=iA^.

Nous aurons donc à la fois

A^ — p.' -h 2B — -h Ga>| = o,

cû' dS

A -y^r- -^ '^ B — 7ï h Cto), =: o.

Développons celte dernière équation en tenant compte de la précédente, il viendra

d' t/to, / d^x u^'\ Une nouvelle dérivation donnera

dJ dP L di* \<)J Jdi} OJ

{ ^Ti[^dp-^^^d3)'^' = ''-

Éliminant Wj et ses dérivées entre les équations (^S), • 24 . (^>5), nous obtiendrons une équation différentielle du troisième' ordre à laquelle t satisfera.

140. La relation entre les deux variables J et t méril' d'èlre étudiée avec soin.

FOGTIO.NS ELLIPTIQUES. 4^9

A chaque valeur complexe de t, à partie imaginaire positive, correspond une valeur unique de J, définie par la formule (34) du n° 391 (où q = e'^^'^). Les séries qui figurent dans cette expression étant uniformément convergentes dans l'intérieur de tout contour fermé, situé dans la moitié supérieure du plan où Ton figure la variation de t (et ne rencontrant pas Taxe des .r), J sera dans cette région une fonction analytique de t, uniforme et sans point critique.

Réciproquement, supposons J donné; les rapports des ([uantités ^i, <?2, <?3 seront déterminés par les. relations

Eu éliminant ^3, on aura une équation du sixième degré en -^\ mais, à cause de la symétrie des équations en gj, ^2, e.,,

elle admet évidemment pour racines les six quantités — •

iJonc la connaissance de J détermine ^i, 62, e^ sans ambiguïté à un facteur près de proportionnalité ut- Or, si l'on change ei , e^t e^ en [xei, [Jie2, [iiea, la période principale

r'T dz

se change en

^^ dz

Changeons également z en ^lz] cette intégrale deviendra -Wa. Donc la connaissance de J détermine les périodes |)rincipales et, par suite, tout le réseau des périodes, à un

lacteur près de proportionnalité, égal à --, lequel disparaît

y/fx

des rapports des périodes.

Mais à un même réseau correspondent une infinité de va-

lîurs de t, qui se déduisent de Tune d'elles t'== — 7 en rem-

plaçant o>',, (i)^ par un autre système de périodes équivalentes

a formule générale des valeurs de t correspondantes à une même valeur de J sera donc

0)1 a -h bz'

où a, 6, c, (i sont des entiers tels que Ton ait

ad — hcz=z\.

Tous ces nombres t ont, comme t', leur parue imaginain^ positive (308).

441. Soient d'ailleurs/?, q deux entiers réels quelconques premiers entre eux. On pourra déterminer deux autres entiers />', q\ tels que l'on ait

et, plus généralement, n désignant un entier quelconque,

p{nq^q') — q{np^p') = i.

Donc J prendra la même valeur au point t' et au point

np -f-/?'-+-/?T

nq -\-q' -^qz Mais, si n tend vers oo, ce point se rapprochera indéfiniment

de -• Donc - est un point d'indétermination pour J; et coninïf

t')ut point de l'axe des x est un point limite pour l'ensembl'

P de laquelle la fonction ne pourra être prolongée.

des points - j Taxe des jî sera une ligne critique au-dessoi:>

PONCTIONS ELLIPTIQUES. 47'

442. Parmi les valeurs de t en nombre infini qui correspondent à une même valeur de J, considérons spécialement celle qu'on obtient en choisissant pour 2(1)1 la période de module minimum, et pour 2o>2 la période principale qui la suit lorsqu'on tourne dans le sens direct autour du triangle principal. Désignons-la par t'. Il est aisé de déterminer la région du plan décrite par t' lorsque J prend toute la série des valeurs complexes.

Considérons, en effet, le triangle T formé par les trois points — I, o, V. Il est semblable au triangle principal (2C0|y 2(i>2, 2 (Os); or celui-ci a ses angles aigus et son plus petit côté est 2(0|, qui a pour correspondant dans T le côté ( — 1,0). Le troisième sommet t' sera donc situé : 1° audessus de l'axe des x ; 2^ dans la bande comprise entre les deux droites x=zOj x = — i; 3** en dehors des cercles de rayon i, décrits des points o et i comme centre.

La région R' ainsi délimitée (/tg^ 26) est un quadrilatère curviligne formé par quatre arcs de cercle ayant leur centre

Fig. a6.

sur l'axe des x (une droite normale aux x pouvant être considérée comme cas limite de ces cercles). Ce quadrilatère a

deux angles droits; le troisième est égal à ~; le dernier,

correspondant au sommet à l'infini, est nul.