Soit T = 37 + «y une variable complexe liée à

4^2 SPXONDE PARTIE. — CIIA.riTRK VI.

T'^.r'-t- iy' par la relation

, , {ad— bc:=^ i)

a -r- Or'

On en déduit

, , . , c — ax c — aœ — aiv

'Z' = x' '\- ly z:^ —

— d -{- ùi: ~" — d-\- bx -{' biy et; en égalant les parties réelles,

, (c — ax^ ( — é/4- bx) -—aby^

— cd -h {ad -h bc) X — ab{x^~^y*)

d* — 2bdx -h b^{x^'hy^)

D'autre part, en multipliant x' ~\- iy par l'expression cou juguée, il vient

,, ,, c* — 2 acx -h a' ( ^* -f- y- )

^'^'^y d^— 2 bdx ^b\x^-\-y-) Si donc t' décrit un cercle

A(a?'*-4-y*) -h Bx'-f- C = o,

ayant son centre sur l'axe des x^ t décrira un cercle an;:logue.

Lorsque t' décrit le quadrilatère R', limité par quatre arcà de cercles, t décrira un autre quadrilatère R, limité par les arcs transformés. Ceux-ci se coupent sous les mêmes angle-j que les précédents; car on sait (t. I, n" 192) que la transformation conserve les angles. En particulier, le sommet de

l'angle nul sera le point '^ ^^ 7 correspondant à t' = oo. Il est

situe sur l'axe des x (ou à l'infini, si ft = o).

En faisant varier les entiers a, b, c, d nous obtiendrons une infinité de quadrilatères, dont l'ensemble couvre le demi-plan. Dans chacun d'eux, J prendra toutes les valeurs possibles, chacune une fois seulement.

444. La fonction J(t) que nous venons d'étudier esL le type le plus simple àes fonctions modulaires. On donne ce nom aux fonctions analytiques, uniformes dans le demi-pian, et qui ne prennent qu^m nombre limité de valeurs distinctes pour l'ensemble des valeurs de la variable indépendante t, qui se déduisent les unes des autres par les substitutions li néaires de déterminant i

a -t- bx'

Toutes ces fonctions admettent évidemment l'axe des x comme ligne critique.

443. Pour en donner quelques exemples, considérons les produits infinis cpT, Ç|T, cpaT, ÇaT du n" 397. On a, d'après les formules (5o) et (53) du même numéro,

Changeons de périodes fondamentales en posant

(26) (o'j =- awi -t- ôcoj, Wj^i: CtOj H- (/(Oj,

d'où

/ / u \ , iù^ c-\-d-z

' a)j a h ôz

La substitution (26) n'altère pas A, et fait éprouver aux quantités «i, e^, e-s une permutation, variable suivant celle des six classes à laquelle appartient la substitution (313). Nous aurons donc

a' parcourant, ainsi que a, la suite des valeurs 1,2, 3, mais dans un ordre qui peut être différent et qui dépend de ronlre de parité des coefficients a, 6, c, rf.

On en déduit

(28) «paJ ^-j-^Jiz:<pa.T'==:Ea'^aT,

E, Ea' étant des racines 24*^"*' ^c Tunîté, que nous allons préciser.

446. Convenons tout d'abord d'adopter, pour \a H- b'. celle des deux déterminations de ce radical dont l'argument

esl > > mais ne surpasse pas - •

Si b est nul, la condition ad — 6c = i montre qu'on aura

a = rf = di 1 ; et le radical y/a 4- 6t aura une valeur constante égale à I ou à ï, suivant qu'on aa=:ioua = — i. Son

argument sera o dans le premier cas, - dans le second. Si

/>^o, T ne passant par aucune valeur réelle, y/a + ÔT ne pourra être purement imaginaire; son argument ne pourra

donc atteindre la limite supérieure -i et ^a-\- b'z sera une

fonction continue de t.

Les produits cpx, ÇaT, çt', cpa/i' sont aussi des fonctions continues de x (t' étant une fonction continue de t). D'ailleurs les séries

où \q\ <I I, étant absolument convergentes, la valeur de ce> produits n'est j amais nulle (t. I, n® 321 ).

Les quantités E, Ea', définies par les équations (27), (28:. sont donc des fonctions continues de t; mais ce sont des racines 24**°" de l'unité ; elles sont donc indépendantes de t; mais elles dépendent des paramètres a, fe, c, rf>; mettant ceuxci en évidence, nous les représenterons par

FONCTIONS ELLIPTIQUES. f\']b