H C0SC
. © sino • ôR
sin-
2 cos - 2 0 ces -
La valeur du radical i/~-- - doit être prise positivemeni, puisque l'argument de ^/a r- bl\i est compris entre -
et -.
Dans le cas particulier où 6 = 0, a ^^ — i, ce radical s'annule, et ces formules devrontêtre remplacées par celles-ci
cp . <p
cos- ::^0, Slll - -II.
Posons de même
et
cos -i- — 4 / P L ï Slll -i- —
2 y oft" 2 .. o
ou, si b"= o, a"= — 1,
cos-^ -= o, sm -— =: 1;
nous aurons
\/a"-^ ù"i\i=z^p' ^ cos^- -h «'sin ^ )
et rargumenl de
y/rr. -^ hWi
i/â'T^ 6* Ri
FONCTIONS ULLIPTIQUBS. 477
sera -' Pour qu'il soil < — et> -> il faut qu'on ail
ou
COS-î < o
ces -i ^ =r O, Sin — - -^ in -I- I .
Considérons d'abord le cas général où cos-> cos-*- soni positifs, on aura
COS-: ^ r— ces- cos- — h sin - SID — •
Remplaçons les sinus par leurs valeurs el mullipiions par
le facteur positif 4 PP" COS- COS — ; nous obtiendrons Tex- ' * ^ 2 2
pression
4 pp" ces* ? ces» 5^ + hb"R^=i (? + «) (?"-i- «") -i- *^*I^*:
(jui devra être négative ou nulle.
Or les facteurs
p-^a = ^a^~^~I^Î{- 4- a, p" -+- a" sont positifs; on aura donc, pour première condilion,
bb'<o
et, par suite,
bl,'':^ -\b\ \b'\.
On a d'ailleurs
Développant de même p"-Ha", il viendra
47 8 SKCONDK PARTIK. — CHAPITRE VI.
Pour R =r 00, celle expression a le signe de la quantité
ou, en multipliant par le facteur positif \b\ J^ l'^ celui de la
quantité
a 1 6" |« 4- a" | 6^" | = ab"^ - <f bb\
Or celle-ci est égale à Ub" \ car on a
ab"-- aPb = a{ba'-\-db') — {aa'^cb')bz= {ad — bc) b'- h\
Nous obtenons donc cette nouvelle condition
Il y a encore doute si b'b^=o.
Dans ce dernier cas, 66" étant supposé < o, on aurd 6'=o, a'=zd^.^±i,a'=aa', *''= 6a'. D'aiUeurs 66'<o. Donc a'= — i, a"=z^a, b"= — 6, p*'^: p, d'où
(p H a) (p^-h a') -h bb''R^= pi— a*— ft«R«=z o.
Donc cos-î ^ = o. Mais celte condition ne suffit pas: il
faut encore que
sin '— = sin - cos — — sin -^ cos -
soit égal à 4- 1 . Or cos -> cos ~ sont positifs, sin - a le slgnt-
de 6, sin— le signe contraire. Donc sin-: a le signe de i.
On doit donc avoir cette condition nouvelle
qui, jointe à la condition bb" <. o, réduira celle-ci à b*^^^- Venons enfin aux cas exceptionnels où l'une au moins de^
quantilës cos-? cos-^- est nulle, le sinus correspondant éianî égal à 4- I .
Soil d'abord cos- =o, sîn-=i, mais cos~>o. On
aura 6 = o, a = — i , d'où
C0S-: = sin -^ = -,
2 p" ces ^ 2
. O CD <p
sin -: '— =z ces —
Le cosinus sera négatif si V <Co] il sera nul, et le sinus égal à -h I, si 6"= o. Dans ce dernier cas, a" devra être égal à
ï , puisque, par hypothèse, cos~ > o.
CD fû" o'"
Soiicos-^o, mais cos^=:o, sin-i- = i, d'où 6"=o,
5'' = — I. On
a — — I . un aura
ces =— =:. Sin - =:
2 2 vP
2 p ces - •^ 2
. <P o'' CD
Sin -i '- = — ces - •
Le cosinus sera négatif, si 6 <[o. Si 4 = o il sera nul, mais le sinus sera négatif.
Enfin, si
