CD C . CD , CD
ces - = ces -^ z=z o, sin - = sin -i- im ,
cos '— sera positif et égal à -h i .
Comme conclusion de cette analyse, on voit que le facteurs sera égal à — i dans les cas suivants :
i« bb"<Oy b'b"<0]
2^ b'>o, b'zrzo. 6"<o;
3« 6 — o, ai: — 1, b"<,o\
4*> 6 — o, a = — j, ft"=:o, a"— i;
48o SECONDE PARTIE. — CUAl'llRE VI.
448. La loi de composition du symbole E étant ainsi fixée, il nous reste à déterminer sa valeur pour les substitution^ élémentaires dont toutes les autres sont composées (309 :
1° Considérons d'abord la substitution
AU
Elle transforme x en 7 4- )^, y en é^^^q. Elle multiplie donc le produit infini
par p^, p désignant Texponentielle e", de sorte que nous au rons
d'où
2" Passons à la substitution
Elle transforme t en : on aura donc
Pour la valeur particulière t=:ï== , cette équation >f
réduit à
donc
FONCTIONS KLLIPTIQUES. ' 4^1
De ces deux résultats on déduit successivement, par la règle de composition,
(^^' Kl7)= -^i-xO ^-(:7) =r-.
Les formules (29) et (33) donnent la valeur du symbole E toutes les fois que b=io, car on a nécessairement dans ce cas a = rfr=dz 1.
Si b est négatif, la règle de composition donnera
formule qui réduit la recherche du symbole au cas où le second coefficient b est positif.
449. Ecrivons, pour plus de symétrie, ai, C| à la place de fe, d. Pour déterminer la valeur de
C Ci
ai étant positif, cherchons le plus grand commun diviseur de a et de «i ; on aura
ai, aa, . .. étant des entiers positifs décroissants, dont le
dernier a^ est égal à Tunité (car a, at sont premiers entre
eux). Comme on peut, au besoin, remplacer la dernière équa-
J. — II. 3i
48a SECONDS PARTIE. — CHAPITEB Yl.
lion par les deux suivantes
il est permis de supposer m pair.
Soient C2, . . . , Cm^ Cm^i des entiers déterminés par les re lations
On aura évidemment
I =1 aCi — «1 c = «j Cl — «1 Cj
<2m+i étant égal à zéro et ne figurant dans la formule*qu«^
pour la symétrie.
D'ailleurs am = i] on en déduit donc c^+i = i-
Cela posé, «<, «2? • • • étant positifs, la règle de compOM-
tion nous donnera successivement
\C, Cj \0 \) \Ci Cx) ^ \C, Ci)
E f "' «'"i = E f ' '''i E h '^^ = p\ E h «»^ , \cj c,/ \X, 1/ Vc» c,/ "^ \c» c,'
Enfin, comme a„, = i , a,„^.4 = o, Cm+, = i ,
Multipliant toutes ces équations, il viendra
450. On peut déterminer par un procédé analogue la leur des symboles Ea- ( , 1 .
FONCTIONS SLLIPT1QUB8. 4^3
Supposons, en eOet, qu^en posant
c -^dz c' -\- d'z^
a -H 6t a' -h or
on ait
En désignant comme précédemment par
la résultante des substitutions
on aura
et
formule qui contient la règle de composition des symboles considérés.
451. Cherchons l'effet des substitutions élémentaires. Considérons d'abord la substitution
