C. lO
laquelle change q en e'^^q. Opérée sur les produits
elle les changera respectivemenl en
Tçi «/ Hf!Eî
La substitution AJ les change en p^'fi, p~*f2j ?*?» > -^^' les change en p"*yi, p^^fs? P""*?2« Passons à la substitution
Comme elle appartient à la classe VI (313), elle les changera en
Or, si l'on suppose t purement imaginaire, - le sera égale-
ment et
seront réels et positifs. Donc
le sont aussi ; étant des racines 24'^"^* de l'unité, ils se réduisent à -h I. Donc 6 transforme cpi, ^3, fs en cp2, 0|, ^3; son carré
les laisse inaltérées. Enfin B~* les change en ip^, ^ 1, q,.
Partant de ces résultats, et appliquant la règle de composition donnée plus haut, nous pourrons calculer sans peine TeiTet des substitutions
' ]V-^A,^BA;'B-S AJ, A,A„ A,A„ A.A.A,.
PONCTIONS ELLIPTIQUES. 4^5
Tous ces résultats sont consignés dans le Tableau suivant :
A, p<pi p©j P~*?t
A5 p'çi P~*?i P"*?3
B <pj <pi <ps
B' oi <pi «pj
B-* ^j <pi 03
Af pOi p-*<Pt p^3
A, A, p'03 <pi p-3<pj
Aï A, «), <p3 ©i
A, Al Al... p-»o, p-»«pi p*ç)3
i52. Soit maintenant T une substitution quelconque de la première classe. On peut (313), par une opération analogue à la recherche du plus grand commun diviseur, la mettre sous Tune des deux formes
ou
Aî>'Aît*...AÎ^*A;t** B«Aî^AJl*...A;>kAJl**,
et il résulte du Tableau précédent qu'elle reproduira les fonctions ^ i, cp2, ^3 respectivement multipliées par
Enfin une substitution S, appartenant à une des cinq autres classes, peut (313) se mettre sous la forme TU, T étant de la première classe, et U Tune des substitutions A|, Aa, A| A2, AjAi, AiAaAi. Connaissant l'effet de ces dernières, on n'a qu'à appliquer la règle de composition.
453. Si l'on suppose les fonctions elliptiques déterminées non par leurs périodes, mais par leurs invariants, les quan-
4B6 SECONDE PART». — CHAPITRE Tl.
tités (foL seront données (397) par les équations binômes
CD
l6(ep— gy)*
roL
{e^—ea){ey—eoL)
On lèvera l'ambiguïté que présente cette formule en précisant comme il suit les arguments des quantités ^a-
Supposons d'abord qu'on ait choisi pour périodes fondamentales les périodes principales et considérons le cas particulier où Ciy e^, ^3 sont réels, et tels que Ton ait
et<ei< e^.
Dans ce cas, q sera réel et positif et les expressions de ^i.
Iti
cp2, e * cp3 en produits infinis montrent qu'ils seront réels et positifs.
Si le triangle (?|(?2^3) à ce moment infiniment aplati, se déforme de manière à prendre une autre position quelconque, l'inspection de la figure montre immédiatement comment varieront les arguments de Ci — e2, ^2 — ^3» ^3 — ^i et, par suite, les arguments des radicaux, qui représentent
Enfin, si l'on remplace les périodes principales par d'autres périodes équivalentes, les nouvelles valeurs de 0|, ©2^ ?3 se déduiront des anciennes par les formules de transformation données ci-dessus.
