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Les substitutions Ai, A2 transforment respectivement les trois fonctions Xi, X2y Xz en ^3, a?a, X\ et en Xx, x^t ^2» ^^ les substitutions A^, A^, B* ne les altèrent pas. Elles sont donc simplement permutées entre elles par toute substitution linéaire de déterminant i, et les substitutions de la première classe les laissent inaltérées.
FONCTIONS JBLLIPTIQUES. 4^7
En éliminant ^«1 ep, ^y entre les équations
(gp— ga)(gY— ^a)
on obtiendrait une équation
ayant pour racines ^Ti, x^, x^.
Cette équation peut se former plus rapidement comme il suit :
A chaque valeur de x^ correspondent deux, systèmes de valeurs des rapports e\\e>^\ e^ et, par suite, deux valeurs de J; réciproquement, à chaque valeur de J correspondent six systèmes de valeurs des rapports e^\e2^e^^ mais ils se déduisent l'un de l'autre en permutant ces trois lettres; x^^, restant inaltéré par l'échange de ep et de e^, n'aura que trois valeurs.
L'équation cherchée sera donc de la forme
AJ*-4-BJ + C = o,
où A, B, C sont des polynômes du troisième degré par rapport à l'inconnue Xol (que nous désignerons plus simplement par X pour abréger l'écriture).
Dans le cas particulier où e^ = ^2, nous aurons
J = 00, Xi=^ X2^=^O0f ^3 = o,
donc
Pour
on aurait
/\SS SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Tl.
d'où
a désignant une constante.
Enfin, pour ^i = o, <?3 = — e^, on aurait
fr désignant une constante.
L'équation cherchée sera donc de la forme
Pour déterminer les constantes restantes a, 6, on pourra
poser
e^zzz — i — h, e, =r — I -4- /i, ^3 — 9.,
d'où
En substituant ces développements dans l'équation
et égalant à zéro les coefficients des termes en j-^ et ^ ^ > on obtiendra deux équations linéaires en a et b,
455. On obtient de nouvelles fonctions modulaires par la combinaison des fonctions cpi, 'f-j^ '^3. Posons, par exemple,
Les six fonctions ainsi obtenues éprouveront, par les sub-
slitulions Aj, Aa, A| A2, ..., les altérations consignées au Tableau suivant, où r désigne Texponentielle e^ .
Al rça, cp,i r-»cpi3 r-»9j3 ©u r^pat
Aa <pis ro3j /-»?2i 031 /-^Çjs ''?ii
AiAj ro„ rcpu r-î©23 r-»«pi, r-*Oji /''Çjj
Aï A, 9,3 cpa, «pu (p,2 Çij Oji
A1A2A,... 9„ r-»çi3 r©3j «pu ro3i r-»®,8
Af r(p,j r-»023 CP31 ^*?ii ''?3i ?i»
Aï r^x\ ?23 /—^^Sl Z-"*?!! ?3Î '•?13
B* ?lî ?Î3 ?31 ?îl ?Si ?t»
456. Ces fonctions peuvent s'exprimer au moyen des invariants par la formule (n'* 397)
dont on lèvera Tambiguïté comme au n® 4S3.
Pour former Féquation algébrique qui lie les modules k\^ à J, nous remarquerons que Fun d'eux, k'^ étant donné, les rapports CilCile^ et, par suite, J seront déterminés sans ambiguïté. D'autre part, à chaque valeur de J correspondent six modules Ar*. L'équation sera donc de la forme
AJ -4- B = o,
A et B étant du sixième degré en k^.
Or, si l'on suppose 62 =^ ^3, on aura
J=oo, k\^ = k\^ — co, kl^ = kl^ — o, k\^ = kl^^i;
donc
A — k'{k^—iy.
Posons, d'autre part,
Dous aurons
d'où
b désignant une constante.
Pour la déterminer, posons ei = o, «2= — e^; on aura
et en substituant ces valeurs dans Féquation,
