VIII. — Division

458. On a vu (360) que, si n est entier, pnu s'exprime rationnellement au moyen de pu par la formule

Réciproquement, supposons pnu donné, et proposonsnous de déterminer pu.

A la valeur donnée a de pnu correspondent une infinité de valeurs de u; en désignant par Uo l'une d'elles choisie à volonté, elles seront données par la formule

±: WoH —^ =— ^ (m*, m, entiers),

FONCTIONS ELUPTIQDES. ligi

et les valeurs correspondantes de Pinconnue x = pu seront les suivantes

car on reproduirait la même suite de valeurs en prenant Uq avec le signe — et changeant en même temps les signes de

Comme l'expression ci-dessus ne change pas si Ton fait varier m^, m2 de multiples de n, on n'obtiendra que n^ racines distinctes. Tel est effectivement le degré de l'équation (î) par rapport à pu.

Soient, plus généralement,

2a)j 2 }x,a)| -I- 2 {i-jW, atOj 2v,(0| -h 2VjO)j

deux n'*^"" de périodes, tels que

2m,tOj H- 2/nj(o', n

ne puisse êlre une période que si m, et m2 sont multiples de n (il faut et il suffit pour cela que [XiVa — [Ji2Vi soit premier à n). Les quantités

2miO)| -h 2/n,to,

où /W|, ma varient de o à n — i, seront toutes distinctes, et représenteront la suite complète des racines de l'équation (i).

En combinant les formules d'addition et de multiplication, on voit immédiatement que chacune des racines x^^^^ s'ex-

prime rationnellement en pa©, p ^ p — -^ p^o^ P — ->

2 Ql

p' — -» D'ailleurs, en dérivant l'équation (i), on trouve un résultat de la forme

np'nu = R(pu)p'Uy

^gi SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YI.

R étant une fonction rationnelle. Donc p'i/o est rationnel en piiQ et p'nuQ^ ^^-^mimt s'exprimera rationnellement aumoveD

4o9. Posons, pour abréger,

llCt

La quantité

S^,2^,al^.'«.-^l^.'«.a:«.,«.

( m, z= o, I , . . .y n — I ; /w, ^ o, i , . . . , /i — i ) pourra, d'après ce qui précède, s'exprimer rationnellemeDt

20)', 2u>', , ,2co', ,2a>',

en ^00, P-;f-' ^-7^» P nuo, P -^^ ^ n" ^' Represen-

Lons-la par P^^^^(xoo)' Changeons, dans l'égalité

(2) P,x,,x.(^oo) ^ S^. S„,. a^"«.-^ï*.'«.a7^.,„„

e/o en Uq-] — , et changeons en même temps ie^

indices de sommation /Wi, m^ en nti — )v|, /n^ — Aj: il viendra

On en déduit

P(l,|i,('n,>.,) = Pîl,pL,('2:oo) = -?-Xi^X,Pf.jjL,(urx,>.,).

Cette dernière expression, étant symétrique par rappori aux racines de l'équation en œ, s'exprime rationnellement par les coefficients de cette équation et les constantes 2.

^n' ^n' P'^^^' -P "^T' ^ n ^"^ renferment se> coefficients. Désignons-la par Aj4,|i,.

On aura, en particulier, d'où

Hio(«a?oo) ^^ A jç, Poi(xoo) ^^= AJ^.

L'équation (3) donne, d'autre part,

Pix,,x.(a:x.>.) P7o^'(xx.>.) P7r'(^x.>J

-- Pfi.(x,(^oo) P7o^'(^oo) P^Î^'C^oo)

== ^2:x.2x.PHL.H^.(^..>JP7î''('^À.A.)Pi"r(^x.>j ^Bj,.p,.,

BjjL J^ étant encore une fonction rationnelle des coefficients

1 1" a- j 2ti>'| 2 0)'

de 1 équation en x et des constantes a, p — -} p — -y

^ n il

u'/iz/o, p — i> p' — i. On en déduit

Pp., {1, ( -^00 ) — A Co Aq", Bjjl, {Aj.

Les quantités P|jt,|ij(^oo) étant ainsi déterminées, on en déduira immédiatement les racines ^x/a,* O" si? ®° effet,

Or, si /?i,^X|, on aura

S» al^.f '«.->.>- , - o,

et, si mi = X|, cette somme est égale à n. De même, pour le second facteur S|^jat*i^'"i-^«\ suivant qu'on a m^^X^ O" m 2^^ î^2- Le second membre se réduit donc à fi^X)^i^^ et l'on aura

±2^.2^,(a->'.Air(a->-A«,rBj,,^,.

Il faudra donc, pour résoudre l'équation proposée : i** cal-

culer les quantités auxiliaires a, p — -y p — -9 p nuo^

p* — -i p' — -'y 2® déterminer, par des opérations ration-

nelles, les quantités A|o> Aon ^ii.iitî ^^ extraire la racine ^ième jg ^^^ g^ jg ^^^^ Les racines ^x,X, seront données par

la formule (4); et l'on passera de l'une à l'autre en chan-

1 ji géant la détermination des radicaux Â"^, Ag,.

460. Dans la solution précédente, «o désigne l'une quelconque des solutions de l'équation

pnu :=• a,

et — -i — - sont deux /i""»«« de périodes

2(«)', 2|X,(«)i -h 2[Xj(U, 2ti)'j 2V,(D,4- 2Vj(i)j

assujettis à cette seule condition que [XiVa — (Ji2V| soit premier à n; pnuo=za est donc une des données de la question, et p'nuQ sera fourni par la formule

p'nu^ — \J[\a''— g^a — gi.

Lorsqu'on aura déterminé p — ?> p — -y on aura de

même