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é'îP-r^ —^8

Les signes de ces trois radicaux peuvent être choisis à vo. lonté, car on ne cesse pas de satisfaire aux conditions im-

posées a Mo> — ^> — - en changeant leur signe, ce qui n al-

PONCTIONS ELLIPTIQUES. 495

1ère pas les quantités pw©» P — ^> P — -» Diais change le

fi lit

Signe des dérivées p Wq, p — -y p — -'

461. Tout revient donc à calculer les deux constantes p ^> p — -• Ces quantités sont (358) des racines de l'équation

de degré ri^ — i, et dont les coefficients sont des polynômes entiers en g2^ g^. Mais ce couple de racines n'est pas arbitraire, car il faut que

ne puisse se réduire à une période que si /ni, m^ sont multiples de m, ou, ce qui revient au même, que deux expressions

2 m\ (o', -h 2 ml (ol 2 m! w', -h 2 m\ w', P ^— ' —^y P —^ ^— >

où m\, /n!j, m^, m* varient de o k n — i, ne puissent être égales que si Ton a

m\ -+- ml ^ o, w j -f- m'j[ ^ o ( mod n). Il sera facile de déterminer s'il en est ainsi pour un couple

1 • 2(o', 2 0), , ri rr /2w'

de racines p — -y p — - supposé connu. En eUet, p' — -y

p — - seront donnés en fonction de p — -9 p — - par des

radicaux carrés, dont nous pouvons prendre le signe à volonté. Les formules d'addition et de multiplication nous permettront dès lors de déterminer, en fonction rationnelle

de p — 'i p — -) p — -y p — -y chacune des quantités

2 m* O)' H- 2 7/1* 0)1 / .1 1/ • f , 2m|0)', -4- 2 w,o)' \ p — î — ] î__i / et aussi les dérivées p — - — U

et par suite de reconnaître si deux de ces quantités sontou non égales.