Soient

ymi m, — P

une des racines de l'équation (5)^ d le plus grand coDinii.o diviseur de mi, /Wa, n; posons

Ci w , (0 , -4- îî m, w, 2 ;x, CD| -+- 2 fi.j cos

sera un v**""* de période, et nous dirons que la racine r^ sappartient au diviseur v.

Désignons paryj le produit des facteurs linéaires^' — y^ ^ correspondant auK racines qui appartiennent au diviseurv; on aura évidemment

le produit s'étendant à tous les diviseurs v de n, y comprice nombre lui-même, mais Tunité exceptée.

Les polynômes yj ont leurs coefficients rationnels el entiers en ^2) ^3* ^'^" effet, décomposons v en facteurs pnmiers; soit v := a^b^ L'équation

aura évidemment pour racines celles des racines y^ „ qn appartiennent à v ou à Tun de ses diviseurs. Ces dernière-

appartiendront à Tun des nombres -> r> ••• ou à l'un tl' '^^ a o

SCS diviseurs. Elles satisferont donc à Tune au moins lie^

équations

Si donc on détermine : 1" le plus grand commun divis'

de <1J avec chacun des polynômes J/J, ^[^J, ...; 2** le plus

pelit multiple M de ces plus grands communs diviseurs; enfin, si Ton divise ^^ par M, on obtiendra un polynôme n^ayant plus pour racines que celles qui appartiennent à v; il sera donc égal à yj à un facteur numérique près. D'ailleurs, ^ï, <J/^, ... ayant pour coefficients des polynômes

enliers en g2'> ffnj dont le premier est purement numérique, ~ jouira évidemment de la même propriété.

463. Cherchons le degré du polynôme yç'. Il a pour racines les quantités

jjL,, jjLj étant ^o mais <C v, et ijl,, 1x2, v n'ayant pas de facteur commun.

Les entiers "ii> r^' * ' * ^^^^^ premiers entre eux, on pourra

déterminer des entiers A, B, ... tels que Ton ait

(Tori

^ ~' a^~^lP " a« "^ ù^ -^■- • -t- /M,

V| désignant un entier <C a* et non négatif; B| un entier <C b^ et non négatif, etc., kt un entier. On pourra mettre

^ sous une forme analogue

!^i - ^« + Ëî ^ ^k,

V a* tfP

Pour que [jl,, [JI2, v n'aient pas de facteur commun, il faut et il suffit que Ui et [JI2 ne soient simultanément divisibles ni par a, ni par b, . . . ou, ce qui revient au même, que Af , A2

ne soient pas tous deux divisibles par a, ni B| , B3 tous dt&i divisibles par fr, etc.

Or A| , Aa sont chacun susceptibles des «* valeurs o, i, .. a* — î, ce qui donne a^* combinaisons. Celles où A|, AaS* tous deux divisibles par a sont au nombre de a^*~-. En I excluant, il reslera

combinaisons admissibles.

Le nombre des combinaisons admissibles pour B|, B^ >ct.' de même

etc. Le nombre des valeurs admissibles pour p.,, jxa (ou 1degré du polynôme yj) sera donc

Si n est pair, dans la suite des facteurs yj Ggurera le facteur

correspondant aux demi-périodes. Les autres polynômes y;, où v> 2, sont des carrés parfaits ; car à chaque racine r«n, appartenant au diviseur v, on peut associer une autre racine ym\ m\ par la relation

m', -h m" PII o, m', 4-mJ = o (mod/i),

et ces deux racines, évidemment égales, appartiennent au même diviseur.

464. La résolution de l'équation '^^ =: o entraîne celle <it l'équation i(\ := o.

Soit, en effet, p — -^ p — - un couple de racines de Téquâ-

tion '/l= o\ nous pourrons, après avoir choisi à volonté I'''

signes des radicaux p' — -, p' — -y calculer par des opérations rationnelles les quantités

2mia)' -h 2m.tol , a/nto)' -h 2/?ii(ui P -^ P ^'

où ntiy m^ varient de o à /i — i. Si les quantités

sont toujours distinctes lorsque la somme de leurs arguments n'est pas une période, elles reproduiront toute la suite des racines ym^m^ de J^^^^ ^•

Si la condition précédente n'était pas satisfaite, on essayerait un autre couple de racines ; on est d'ailleurs certain qu'il en existe qui conduisent au résultat désiré.

465. Si l'on décompose n d'une façon quelconque en facteurs 5^, r, ... premiers entre eux, on pourra remplacer la résolution de l'équation y^^ = o par celle des équations

Xy""^» X'* ~~" ^» ....

Car cette résolution, entraînant celle des équations

fait connaître les valeurs de p m et de p'u pour tous les arguments qui sont des y^*^"" de périodes, des r*^"** de périodes, etc.

Cela posé, soit

ami t»^i-+- 2 mt(i)s n

un /i'^"* de période ; nous pourrons déterminer des entiers [x, , U2 ; Vi , Va ; . . . , A"i , Ara tels que l'on ait

nii (x, V,

— ^ =1 i-i -h — H-., .-h Xti, n q r

^ = ^ + ^+... + yt..

5oO SECONDE PARTIE. — GHÀPiTRB VI.

d'où

cl comme on connaît les valeurs de pw, p'w pour les arguments

a (JLf CO] H- 2{X2(i>2 2v,a), -h 2v,to,

qui sont des y**™«*, des r*^"", etc., de périodes, on en déduira par la formule d'addition les valeurs de

^m^io^-h 2m^tù^ , 2miti), 4- 2/njCOj

Si donc n=z a^b?. , . j a^ b, ... étant premiers, la résolulion de ^2= o se ramènera à celle des équations