Considérons donc une de celles-ci, telle que

X'.= û, et supposons a >> i . Ses racines sont les quantités

2/W| (Oi -h 2/71)03]

OÙ /«i, ma ne sont pas tous deux divisibles par a. Soient respectivement jjL|, |jl2 les restes de leur division par a»~* : ils ne seront pas nuls à la fois, et nous pourrons écrire

2mta),-+- amjtoj i /îiaiCOi -+- 2|j.jW,

période )

Considérons celles des racines p pour

lesquelles jx,, [^2 ont la même valeur. On pourra, en posant dans les formules (4)?

2|x, (0, -+- îï!AjO>j n=za, Wo— -in »

les exprimer en fonclion de

P ^^i ' P ^^TIT—

Mais toutes ces quantités auxiliaires seront connues (au signe près des dérivées, qui est arbitraire), si l'on suppose résolues .les équations

Ya — O, X*.-.= 0-

La résolution de cette dernière se ramènera de même à celle de

^l-.o et x*«-3=o-

La résolution de l'équation

•^J^zo, où /i=:a*^P...,

se ramène donc finalement :

i" A celle des équations

2'* A des extractions de racines.

487. On peut obtenir une réduction ultérieure du problème de la manière suivante :

Soit

«V 2 a, to, --»- 2 {Aj Wj

Il II

un /i'*'"'* de période /?ro/?re^ c'est-à-dire tel que [X|, Ua, /i n'aient pas de facteur commun; toutes les quantités de la forme

m h période,

où m est premier à «, seront également des /i'"™" de période propres. Nous les réunirons dans un même groupe.

5o2 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

Un autre /i^^"** de période propre, w', donnera de même naissance à un nouveau groupe

m 1- période.

Ces deux groupes n'auront aucun /i^*"* de période propre commun, s'ils ne sont pas identiques. Supposons, en effet, qu'on ait

m— Ei= m — • n n

Soit [JL un entier quelconque; on pourra déterminer un nombre À satisfaisant à la congruence

X/n =E= |JL mod/2.

On aura dès lors

donc tout /i'^"® de période du premier groupe est contenu dans le second. La réciproque se démontre de même.

On peut donc répartir les n*"™" de périodes propres en groupes, chacun d'eux, étant caractérisé par l'un quelconque des /i»*™" de périodes qu'il contient.

Le nombre total des n'*™" de périodes non équivalents entre eux est, comme nous l'avons vu.

Ceux qui sont contenus dans un groupe

, ..., m — y •••-+- période n n '^

s'obtiendront évidemment en donnant à /n la suile des valeurs premières à /i et <^ /i. Leur nombre M sera égal à

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5o3

Le nombre N des groupes sera donc