Soit F une fonction rationnelle de

Toutes ces quantités peuvent s'exprimer rationnellemeot r. p — y g2', gz\ on pourra donc écrire

o désignant une fonction rationnelle ^^ p —^ g^^ ffz-

Si Ton chancre — en m —y m étant premier à /i, le svsttni'

1 ' f ^ ('î — 0^ j • i^ Il 1

des quantités p— 9 . . . , p — se reproduira. Celles •!'

ces racines qui appartiennent à un même diviseur v seroi^ seulement permutées entre elles. Si donc nous admelton» qu'elles figurent symétriquement dans F, cette fonction ^-

FONCTIONS ELLIPTIQUES. 5o5

sera pas changée ; on aura donc

Soient F', ... les fonctions analogues à F, formées avec les racines des autres groupes; on aura de même

et, par suite,

la sommation s'étendant à toutes les racines y de Téquation

Le second membre, étant une fonction symétrique de ces racines, pourra s'exprimer rationnellement au moyen de g29 g^ et des coefficients de Téquation, qui sont eux-mêmes rationnels en g2 et g^.

D'ailleurs F=*, F', . . . sont comme F des fonctions symétriques; on pourra donc exprimer aussi rationnellement les quantités

F*-hF'«-4-..., F3-i-F"-h..., ...

et, par suite, tous les coefficients de l'équation de degré N,

dont F, F', ... sont les racines.

470. Supposons que la fonction F ait été choisie de telle sorte que les quantités F, F', ... aient des valeurs numériques distinctes. Toute fonction symétrique ^ des racines d'un même groupe pourra s'exprimer rationnellement au moyen de F, F', ... et des coefficients de yj.

En effet, les fonctions 4>, ^F, 4>F2, . . . sont encore symétriques par rapport aux racines qui appartiennent à un

5o6 SECONDE PARTIS. — CHAPITRE VI.

même diviseur; on aura donc

*F -h *'F' + ...=!:: Ri,

R, Ri, • • • étant rationnels. Ces équations linéaires, dont le déterminant n'est pas nul (car il est égal au produit des différences F — F'), détermineront 4>, ^', ....

Donc, lorsqu'on aura résolu l'équation en z, on pourra, par des opérations rationnelles, calculer les coefficients de chacune des équations

/ w\ ( mw\

dont dépendent les racines de chaque groupe.

471. Ces dernières équations peuvent se résoudre par des extractions de racines. Pour plus de simplicité, nous supposerons n premier; cas auquel les autres peuvent se réduire, ainsi que nous l'avons vu.

Soit, en effet, g une racine primitive de n, c'est-à-dire un entier tel que les nombres i, g^ ^', . • . , g*^"^^ divisés par/t, donnent des restes tous différents, reproduisant, à Tordre près, tous les nombres de la suite i, 2, ..., n — i (^"""^ donnant d'ailleurs l'unité pour reste, d'après un théorème de Fermai). A chaque entier /n', positif et < /i, correspond un exposant r non négatif et < /i — i ? tel que l'on ait

m' —g''^ ^r4-Ar(«-l) mod/i.

Les racines p— > . . ., p pourront donc, en les rangeant dans un ordre convenable, se mettre sous la forme

En donnant à /• les valeurs suivantes n — i, /i, . . ., les mêmes racines se reproduiraient périodiquement.

Posons

lit/

et considérons l'expression

i,. ?^^p ( ^'' — ) > /• = o, I , . . . , 71 — 2 mod ( /i — I ).

Ce sera une fonction rationnelle de p— etde P; désignons-la

parP,(p^^

Dans Téquation

p,(pï)=wf(,-ï

changeons w en g^iv et changeons en même temps Tindice de sommation r en r — X, il viendra

P,(p^) = ,-VP,(,^'

Les fonctions

resteroDl donc inaltérées, et l'on aura

Cette quantité, symétrique par rapport aux racines de Téquation

5o8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VI.

pourra s'exprimer rationnellement par ses coefficients. Il en sera de même pour les fonctions

Désignons par G, Hj^ les expressions ainsi trouvées, il viendra

Cela posé, on aura

Mais SjjL^l^f'-^J est égal à o si /'^X, à /i — i si r—A. Le second membre se réduit donc à

(«-opV

et l'on aura

(^.)j>^-:.2,p->.iv(p;;")

— Il,+ p->G«-»+|3-*^G«-»H,-h....

Cette formule donnera toutes les racines, qui se déduisent

d'ailleurs les unes des autres en changeant la détermination

du radical G" "*.

472. Le problème de la division des périodes serait donc résolu si l'on savait trouver les racines de l'équation auxiliaire (6) dont dépend la fonction symétrique F. Celte équation a reçu le nom d'équation modulaire. En variant le choix de la fonction F, on obtiendrait une infinité de semblables équations.