IX. — Transformation

473. Pour que deux fonctions elliptiques p(w, co',, w'^) et p{Uj o>*, Wj) soient liées par une équation algébrique, il faut et il suffit (321) que leurs périodes soient liées par deux relations

( a'a>; -+- 6' tu; = a'i^", -h M^;,

Posons

'/ ûj zi:: C' to'j -h û^'

Il existera une relation algébrique entre ^^(w, o>'^, (o'^) el p(w, Û|,Û2), et une relation analogue entre p(u,<ù\j to,^) et j3(e/, û,, Û2). L'élimination de cette dernière fonction donnera la relation entre p(u, w^, ii)'^)eip(u, u)"^, w'^). Nous pouvons donc nous borner à chercher la relation entre deux fonctions dont les périodes sont liées parla relation (2).

Comme la fonction pu ne change pas si Ton change le signe d'une de ses périodes, il est permis d'admettre que

-T et — ont leur partie imaginaire positive. Dans ce cas,

a'd^ — 6'c' sera un entier positif. Ce déterminant se nomme le degré de la transformation (2).

Soit r le plus grand commun diviseur de a', 6', c', rf'. La transformation (2) est la résultante des deux suivantes

et

dont la première relie J) (w, w'^, w'^) à j)(w, U', , û'^) et la seconde p{u, ù\, ûj) à p{u,ùty Ûa). Mais on a

D^ailleurs la théorie de la multiplication nous a donné,

SOUS forme explicite, la relation entre celte quantité et p(Uyùiy Ù2)' Nous n'avons donc plus qu'à chercher la relation entre p(u, ù\^ û'^) et p{u, w',, w'^).

Le problème général de la transformation est ainsi réduit au cas des transformations /?ro/)re5, où les coefficients a', 6^, c', rf' n'ont pas de facteur commun.