lt r/.r (Ij

i- — A ^(^' — |jl) -+- V ~ j^ ri

djc ^ dt

(^-t*)/ "~ (^'- A)(J:r-jx)*

Mais rëquatîon (7) peut s'écrire ainsi :

(t^— A) (jc — ;jL}— 2A(A-4- 2B — 2v/.

l/inléj^rale cherchée / '■ — - — seia donc t'ijale à

di II/ 1 r»v

^ T» = - '02 (v r — A a — B) 4- con<l.

-1 Remarque. — L'intégrale

'H'i/est une fonction rationnelle, se ramène à celles (|n(' nous venons de traiter.

Posons, en effet,

t'— h , 'ildt jr =. } dx =1 •

L'intégrale deviendra

^^pression qui ne contient plus qu'un seul radical,

23. Intégrales elliptiques et hyperelliptiques. — Le> intégrales

ff{x, v/X) dx,

oii f est une fonction rationnelle et X un pol} nome en x de degré supérieur à 2, ne sont pas en général réductibles comme les précédentes aux fonctions élémentaires. Ce sonl des transcendantes nouvelles auxquelles on donne le nom A'' intégrales elliptiques si n = 3 ou 4» d* intégrales hyperelliptiques si /i > 4 •

Proposons-nous d'étudier ces transcendantes.

21. Lemme. — Toute /onction rationnelle de x et \'X peut se mettre sous la forme --= + S, oii R e/ S sonl

des fonctions rationnelles de x.

En effet, y/X ayant pour carré X, qui est rationnel en .r. loute fonction entière de x et y^X sera évidemment de la forme

P + Qv/x,

où P et Q sont entiers en x.

Une fonction rationnelle, étant le quotient de deux fonctions entières, sera de la forme

P -f^Qy/X