HT

ou. en multipliant au numérateur et au dénominateur par P. - Q, v^X,

(P,Q-PQ,)V/X + PP,-QQ.X v,,/Y^c

INI et S étant rationnels en x.

D'ailleurs,

y/X y/X Il étant rationnel en x. Le théorème est donc démontré.

INTÉGRALES INDÉFINIBS. 23

Cette fonction aura pour intégrale

/ - (ix -\- ( Sdx.

L*iolégrale / S dx s'obtenant par les méthodes précc- •lemment exposées, il ne reste à étudier que la première

intégrale / -- dx.

25. On peut évidemment supposer que X n^a que des racines simples; car, s'il contenait un facteur double, on pourrait le faire sortir du radical.

Cela posé, on sait que la fraction rationnelle R peut être 'Itcomposée : i** en un polynôme entier II; a® en une somme

(ic fractions de la forme -5- > où P est un polynôme entier

n ajanl que des racines simples.

Soit D le plus grand commun diviseur de P et de X, cl >oit P= DP| ; P, sera premier à D et à X. La fraction

M M Pi^ ~ b>Pij^

pourra donc être décomposée en deux autres ayant respect i- >emenl pour dénominateur Pf et Dl*.

Nous aurons donc à considérer trois sortes d'intégrales :

!• Des intégrales

M rf.r

Pi^V^

<»" P est premier à X ; a* Des intégrales de même forme où P divise X; ^^ Des intégrales

où n est un polynôme entier.

•>/| SBCOXDB PABTIE. — CHAPITRE I.

26. Considérons les intégrales de la première sorte P étant premier à P' et à X, on pourra trouver deux pol\ nômes A, B tels que Ton ait

AP4-BP \ -I, et, par suite,

— ^ — ~ -h BM v^\ , - .

Pl^V^ ^*^\>^ Pî^-'vX '

Or, si UL r> I, viTT est la dérivée de r— — . • On a ihw

D^ailleurs

(BAI VA y - (BM)'v\ -! : •

Si donc on pose, pour abréger.

il viendra

M [ BM y/X 1 ' M^

Intégrant cette équation, nous aurons la formule de rcdiution

Par Tapplication répétée de celte formule, nous aiirt)n> finalement

r M dv Ly/X r yd.r

li fît N étant des poljnùmes entiers.

i:<CTÉGRALHS iNDÊFIMES. '>.')

La division de N par P donne d'ailleurs

p —II, H p,

n, étant lin polynôme entier et p un reste de degré moindre (j(ie P; on aura donc

r Mdx L v'\ / ' n , (ir r odr

1^7. Passons à la considération des intégrales de la seconde sorte

où P di\ise X. Soit X - = PX|; P étant premier à P' et à X,, on pourra déterminer deux polynômes A, B tels que Ton ail

APh-BP'Xi=:i, f'i par suite

^^ ^' (AP^-BP'Xi)

^^ . BMvXT ""

Or on a, pour toute valeur entière de [jl, et même pour

Pi par suite BM

— r BMy/X "I '

(BM)'X,-»-|BM\; (i-.x)P''-iv'>^

tt6 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE I.

Mais

Sî donc Ton pose, pour abréger,

il viendra

M r BM\/\ 1'

et, en intégrant, on aura la formule de réduction

En répétant cette réduction jusqu'à ce que Texposaiil (1<- P s'annule, on trouvera un résultat de la forme

J Pi^v X ^ P^ J <

L cl 112 étant des polynômes entiers.

/* n dx 28. Il nous reste à étudier Tîntégrale / — —-y à Ijujinll

venant de la réduction des intégrales déjà traitées. Soit n = OLX"^ -I- ai x"*~* 4- ... ; on aura

en posant

ïldx

rx^dx

Il est aisé de trouver une formule de réduction pour loin tégrales I;^. Soit, en effet,