Il est maintenant aisé de former Téquation modulaire

dont/"^, /l sont les racines. Nous savons que ses coefficients sont rationnels en ^29 gz' Mais ils sont entiers; car, en sup-

FONCTIONS ELLIPTIQUJIS. 5^5

posant qu'on ait choisi pour 2(i)| la période de module minimum (un changement de périodes fondamentales ne ferait que permuter les racines), ^ a un module au plus égal à

e ^ , et les racines seront toujours finies. Les coefficients A|, . . . , An resteront donc finis, quels que soient g^ et g^ ; ce seront donc des polynômes entiers.

En outre, si nous supposons A infiniment petit du premier ordre, la relation

^=fâ^*n*c-'^"')"

montre que q sera infiniment petit d'ordre \\ f^ sera fini et

les autres racines /î seront infiniment petites d'ordre •

Le coefficient Ar est une somme de produits de r racines ; dans chacun d'eux r — i racines au moins sont infiniment

petites d'ordre Donc A^ est d'ordre (r — 0 au

^ la/i lin ^ *

moins. Il contiendra donc L^ en facteur, a étant l'entier

égal ou immédiatement supérieur à ce nombre. On aura,

par suite,

Br étant un polynôme entier en g^^ ^3, satisfaisant à la condition d'homogénéité. Or, les racines f^^ f\ ont, par rapport à co,, ci)2 le poids 1 — n\ A, ^2, ^3 ont respectivement les poids — 12, — 4î — 6. Le polynôme B^ aura donc pour

poids

Si ce nombre est positif, la formation du polynôme B;. sera impossible, puisque g^^ g^ ont des poids négatifs; A^ sera donc identiquement nul. Dans le cas contraire, l'homogénéité permettra d'écrire la partie littérale deB^» Il ne restera ainsi à déterminer qu'un nombre restreint de coefficients numériques. Pour les obtenir, on substituera dans l'équation les développements de g^^ ^3, A et des racines y^, f\ et

l'oD égalera à zéro les coeffîcieDts des puissances successives de gr.