Les cubes des fonctions y/it, ^p sont liés

par des relations analogues. Elles se déduisent du développement

d'où

^3/1^= \(— 1)1^(2 jX-hl)^ ^ ' ^,

'^^^^^^^tJ=\ (,)ïi(2ji + i)e»*i»l^*)V^ ,;^

5^8 SBGONDB PART». *— CHAPITRE Vf.

Formons la somme \ ç* • Les termes où 2 u + 1

n^est pas divisible par n se détruisent. Les autres s*oblieBnent en posant

d'où

2|x-M = n(2fJL'-M), (~i)l*=(— I) « ^^ .

Leur somme sera donc

\ (— I) * ^ n('i\i.'-\-i)nq ^ * ^^ =z(— 1)«* /i«^»/it. Donc

(39) ^^.2il±!=(,)'^„V„,.

On trouvera de même, s désignant un non-résidu quadratique de n,

car, quel que soit [ji, l'exposant

ne sera jamais divisible par n.

48o. On sait que les fonctions symétriques des quantité?

p — -y •••> p doivent s exprimer rationnellement en

/"*, 5^2? ^3« Pour réaliser ce calcul, on peut recourir aux considérations suivantes :

Les deux fonctions c^(w, cO|, coa) et 8(ç>, t), liées par la relation

^(w, Wj, 0),) =: v/2ir a" *u>i" *««"« e( r, x),

satisfont respectivement aux équations aux. dérivées partielles

(42) T-ï = 4îr«:r>

lesquelles sont les conséquences l'une de l'autre (433). Or

la fonction 8 (i^V^/i, /it) satisfait évidemment encore à l'équation (42). L'équation (/(i) admettra donc la solution

Mais on a

On a d'ailleurs 7|i = vii -\ '^ (477).

La solution précédente pourra donc se mettre sous la forme

e OT-- z=:F(w, U),, 'Dj).

sjfi

Cette expression satisfait à l'équation

Si donc nous changeons u en i^ y/TT, la fonction

= F(m V^, a>,, 0),) = yZ/i ( - j c * O'm

satisfera à l'équation transformée

Cette équation est semblable à celle à laquelle satisfait d nUj sauf le remplacement de /i^ en /i.

53o SBCONDE PÀRTIB. — CHAPITRE YI.

Nous avons déduit de cette dernière (434 et 435) une équation aux dérivées partielles pour Texpression

- dnu

considérée comme fonction de pu^ ^29 ^s* ^^^ 1^ même calcul (sauf le changement de /i^ en /i), nous trouverons

que — - = z satisfait à l'équation

/ / dz 1 ^ dz\

l \ ° ôgt 3°^0gJ

semblable à Téquation (17) du n° 435, sauf le changement de n^ en /i.

Comme À est indépendant de u, et satisfait à la relation DA = o, la quantité

satisfera à cette même équation.

Or on a [formules (34) et (16)]

1 an*

Donc

j=jiJj"(p«-r^)=A,p"' + A,p'"-' + ...-HA

sera un polynôme en pu.

On connaît déjà le premier coefficient

A.= yi-

L^équation ci-dessus fournit une formule récurrente pour lé terminer les autres. Substituons, en effet, ce polynôme ians Téquation et égalons à zéro les termes en pl^. On aura

ni 12^, "^ -h 5^2 T-^ .) ; =[4(H^-i)([^-2)-+-(6-4/i)(|x-i)-+-/2(n-i)]/Vi

Supposons qu'on ait déterminé les expressions des coefficients jusqu'à Ajx^i inclusivement en fonction rationnelle de g2, g3, /. Soit A^= o^{ff2, gz, /)• On aura

à\u. d^ d^ df àk^ d^ à^ df

^ ~~àgt àf ô'gt agi "" dgt ùf dgz'

D'ailleurs -r^— > -r — s'obtiendront en dérivant l'équation

agi agi ^

modulaire.

La formule (44) donnera donc Ajx^a au moyen des coefficients précédents.

Connaissant ainsi les coefficients de Téqualion qui a pour

connues l'expression d'une fonclion symétrique quelconque.

'jeu, vi/Tzro. 1 • 1 j r 1

racines p j • • • , p > on obtiendra par des formules

486. Multiplication complexe. — On a vu que, si m est entier, pmu s'exprime rationnellement en pu. Cherchons avec Abel sous quelles conditions cette propriété peut subsister pour d'autres valeurs de m.

Puisque pmu est, par hypothèse, rationnel en pu, il admet les périodes acOf, sco^; mais ses périodes fondamentales sont évidemment — -S — ^ : on aura donc

2ab)|+26a)* 2 0(1)1+2^/(0, 2(0i= = =j 2(02= i

OU

a, b, c, d étant des entiers.

Ces équations sont satisfaites, quels que soient C0|, (1)2, si l'on pose m = a^=d^ b = c = o; mais alors m est entier : c'est le cas de la multi])lication ordinaire.

Si m n'est pas entier, son élimination donnera entre les périodes la relation

ou

a)| au>i-h bw^ bia\-h {a — e/)(0](02 — C(»)J = o

ou enfin

(45) ôt'-4-(a — <i)T — c = o.

Cette équation doit avoir ses racines imaginaires, et t représentera celle dont la partie imaginaire est positive. Quant au multiplicateur

ce sera aussi une quantité complexe.

Si les relations précédentes sont satisfaites, pmu étant une fonction paire, qui admet les périodes acoi et aco^, sera bien rationnel en p//; nous dirons, en conséquence, que pu admet une multiplication complexe. Nous venons de voir que cela ne peut avoir lieu que si t est racine d'une équation du second degré, à coefficients entiers et à racines imaginaires.

487. Supposons réciproquement que t satisfasse à une équation de ce genre. Comme on peut multiplier ou diviser tous les coefficients par un même entier positif ou négatif, cette équation pourra se mettre sous la forme

(46) Ax«-h2BT-+-C=:0,

A, C étant positifs, et A, B, C premiers entre eux. Le discri-

FONCnONS ELLIPTIQUES. 533

minant

sera positif.

Nous distinguerons deux sortes d'équations (46) suivant que A, 2B, C ont pour plus grand commun diviseur i ou 2. Dans ce second cas, A, G seront pairs, B impair, et D de la forme 4 1 — i •

Pour déterminer les multiplications complexes dont pu est susceptible, il nous faut identifier Téquation (46) avec (45), ce qui donnera

Nous joindrons à ces relations la suivante

a-+- û?= 2/, et nous en tirerons

a=^-t-Bj7, h:=.Kxy c-=i — G^, d^ny — Bo:;

et le déterminant ad — 6c, que nous désignerons par /i, sera donné par la formule

Enfin

— B + fV5 "^ Â '

ni-=.a-\-b'z=iy-Jf ixsfD,

Si Téquation (46) est de la première sorte, il faudra, pour que a, 6, c, d soient entiers, que x^ y le soient. Si elle est de la seconde sorte. A, 2B, G admettant 2 comme diviseur

commun, :r, j^ pourront contenir 2 en dénominateur: posant

donc J? = — > y = ^— , on aura

Cx' ^ v'-Bx'

/ /• Tx /. y+ix'sf^

el a, b, c, d seront entiers, si x'^y' sont entiers et de mémf parité.

La fonction pu considérée admet donc une infinité df multiplicateurs complexes m, qu'on obtiendra en faisan: varier dans ces formules les entiers x^ y (ou x\ y'). Nous pouvons toutefois nous borner à donner à ces deux indéterminées des valeurs premières entre elles ; car, si l'on changeait x^ y en rx^ ry^ m serait changé en rm^ et la relation entre pa et prmu se déduirait de la combinaison de celu qui lie pu, pmu avec celle que donne la multiplication ordinaire et qui lie pmu avec prmu.

Supposons donc .r, y (ou ^, y) premiers entre eux: a, 6, c, d auront évidemment l'unité pour plus grand commun diviseur.