On voit, par cette analyse, que toute équation

AT*-h 2Bt + C = o ou

(47) Au>5 -4- aBcojiojH- CwJ =o, où D > o,

caractérise une fonction pu admettant des multiplicatear^ complexes. Mais cette même fonction pu correspond à um infinité d'équations de ce genre. En effet, pu ne change pa^ si l'on remplace a>i, (i>2 par un autre sjstème de demipériodes fondamentales i3>\^ (o'^. Soient

les équations qui lient ces deux systèmes de périodes. L*equation (47) sera transformée en

(48) A'a)'î-h2B'a)>;-hC'a>;* = 0,

OÙ

IA'=Aa« -HaBaY-hCY*, B'= Aap -4- B(a8 + Py) -h C -8, C'=:Ap«-4-2Bp8H-C8«.

Nous considérerons comme équivalentes et nous rangeroo^

dans la même classe toutes les équations qui peuvent ainsi se déduire de l'une d'elles, et qui répondent à une même fonction pu.

Toutes ces équations ont le même discriminant, car on a

D'= A'C- B'*=: ( AG — B«) (aS — Py)»= D.

En outre, elles sont de la même sorte ; car les formules (49) montrent que le plus grand commun diviseur de A, B, G divise celui de A', B', G', et que celui de A, 2B, G divise celui de A', 2B', G'; et la réciproque est vraie, car on peut revenir de l'équation (48) à l'équation (47) parla substitution Inverse

On sait, par la théorie des formes quadratiques, que les équations d'un même discriminant D et de même sorte ne formant qu'un nombre fini de classes. Nous allons retrouver ce résultat en cherchant l'expression des fonctions pu k multiplication complexe, qui correspondent à ce discriminant D.

489. Toutes ces fonctions admettent les mêmes multiplicateurs, donnés (487) par les formules

y-r-ixsJD ou ^ —

Soit m un de ces multiplicateurs, choisi à volonté (il conviendra dans le calcul effectif de choisir le plus simple, correspondant à X = I , ^ = o, ou à x'r=y=z 1). On aura

a, 6, c, d étant des entiers encore inconnus, car nous ne supposons pas donnés les coefficients A, B, G, mais seulement le discriminant D.

Posons

les équations précédentes deviennent

Remplaçons a>i, (02, d'une part, et Û|, Ûa d'autre part, par d'autres demi-périodes équivalentes to',, to'^ et Û'^, Û^. Nous pourrons, par un choix convenable de ces nouvelles périodes, (474) réduire la relation entre les périodes à la forme plus simple

Cela posé, pmu admet pour périodes primitives 2Û{, 2Û2, ou leurs équivalentes aÛ',, 2 0'^. Elle admet donc les périodes 2(1)',, 2iù'^ qui sont des périodes primitives pour pu. Ses pôles

sont, à ces périodes près, les points o, — -9 • • •> -^^ ~ — --

La décomposition en éléments simples donnera donc

(5o) pmu = pu-^Y^ * J^p^tt4 i!p^p?.ÇLlj.

Identifions les développements des deux membres, suivant les puissances de u, en remarquant que pmu, ayant pour

périodes — \ — -9 aura, en vertu de l'homogénéité, les invariants m* g2'i Tn^ gz\ il viendra

Prenons une de ces deux équations. Nous savons que la somme du second membre est liée à g2^ g^ par une équation algébrique. Substituant dans celle-ci la valeur obtenue cidessus pour cette somme, nous obtiendrons une équation algébrique entre g2 ^l gz^ Cette équation, en vertu de l'homogénéité, déterminera J.

Il n'existe donc qu'un nombre limité d'invariants absolus! correspondant aux multiplications complexes de discrimi-

FONCTIONS ELLIPTIQUES* 53y

nantDet d'une sorte donnée. Us sont racines d'une équation algébrique, à coefficients entiers , dont le degré sera le nombre des classes d'équations quadratiques du discriminant et de la sorte donnés.

La connaissance de ces invariants déterminera, à un facteur dliomogénéité près, les fonctions pu correspondantes.

490. Les deux cas les plus simples de la multiplication complexe sont ceux où l'équation en t se réduit à

ou à

2T'-f- 2T -+- 2 = 0 (D = 3, deuxième sorte).

Nous avons déjà signalé l'intérêt de ces cas particuliers ; on a dans le premier J = o, et dans le second J = i .

491. Soient pu et pu deux fonctions elliptiques dont les périodes soient liées par les relations

coi=i ato)|4- ^0), , (»),=: cw 1-4- rfw, {ad — bc'=in).

Leurs invariants J et J sont liés par une équation modulaire

et les diverses valeurs de J fournies par celte équation correspondent aux diverses manières de déterminer a, è, c, rf, sous la condition ad — bc = n.

Pour que J soit égal à J, il faut et il suffit qu'on ait

COj

to),