Considérons la diATérenlielle abélienne

R{x,y)dx,

R désignant une fonction rationnelle et y étant lié à x p' une équation algébrique

Si Ton efiectue une transformation birationnelle

réquation/=o sera changée en une équation analogue

R(^, ^) deviendra une fonction rationnelle de a/, j^; enlit

FONCTIONS ELLIPTIQUES. SSq

dx s'exprimera au moyen de x'y ^, dx' au moyen des relations

dx- ^dx'-h^dv' o-^dx'-^^^dv'

"^"^ - dx^ ^ â/^ ' ^- dx' ^ ôy'^ •

La différentielle proposée est donc transformée en une autre, R| {x^ ^ y) dx' y où la relation entre les variables sera

Ux',y') = o.

Sî/(^,y) == o représente une courbe de genre i, la transformation pourra être choisie (t. I, n** 596) de telle sorte que la courbe transformée soit du troisième ordre.

On peut encore simplîGer cette dernière équation par une suite de transformations homographiques. Par une première transformation, qui rejette à Tinfini un des points d4nflexion, on la réduira à la forme

(ûrj7-H/v)'*-hP2=o,

Pa étant du second degré. Un autre changement d^axe la réduira à

ax*-¥- Pî=o.

Le polynôme Pj contient un terme en y^j car autrement la courbe serait unicursale. En changeant ^ en y -f- \x -f- (x, on fera disparaître les termes du premier degré en y; l'équation prendra la forme

Enfin, changeant j; en olx -^ ^, on pourra réduire A à 4f B à o; appelant — g2 et — g^ les deux autres coefficients, nous aurons l'équation définitive

Soit pa la fonction elliptique construite avec les invariants g2i g'A] cette équation équivaudra aux deux suivantes

xz=:puy y — p'u.

Donc, les coordonnées de toute courbe de genre i

5^0 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Yl.

peuvent s'exprimer par des fonctions elliptiques d'un même paramètre.

493. Prenons ce paramètre u pour variable indépendante, la diflerenlielle K{x,y)dx se changera en

R(p«, p'u)p^udu.

Pour l'intégrer, décomposons la fonction Rp'a en éléments simples. Le développement sera de la forme

2 [AoîCa - a) -h Ajî'Ca - a) -4- Ai^'{u - a) -h. . .] -h C,

avec la condition 2Ao = o.

L^intégrale sera

2 [ A 0 1 o g tf ( a — a) 4- A , ; ( tt — a ) — A , p ( 1/ — a) — . . . ] -h C a H- C . Éliminons les quantités T^(u — a) par la formule

î(// — a) = ÎM — Uh- - ^—

2 pu — pa

et posons, pour abréger, 2A| = B. L'intégrale deviendra

(i) 2Aolog3'(tt — a) -f-Bî;tfH-C£/-t-4'«»

^u désignant une somme de termes doublement périodiques.

494. Cherchons à quelles conditions cette intégrale sera une fonction algébrique de x.

Il est nécessaire qu'elle n'ait qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de x = pu, et a fortiori pour chaque valeur de u. Or, pour une même valeur de u, chacun des logarithmes log<i(u — a) a une infiuité de valeurs. D faut donc que tous les coefficients A© soient nuls.

Cette première condition remplie, l'intégrale sera uniforme en {/. Mais il faut de plus que, pour tous les systèmes de valeurs de la forme w -f- am, C0| 4- s/n^coa, qui n'altèrent pas pu, le nombre de ces valeurs soit limité.

FONCTIONS BLLIPTIQUBS, 5^1

Or, le changement de u en a + ami (0| + 2/713(1)2 s^^gmente la valeur de l'intégrale de

(2By),-+- 2Ca),)m|-h (2Bt),-|- 3Cci>,)/nt,

expression qui prendrait une inGnitë de valeurs, si l'on n'avait pas

qBtJj-H aCwjZzrO, 2Bîi,H- aCcOjrri o.

TZl

Comme le déterminant 7|iO>2 — y\2^t est égal à — > on en conclut ces nouvelles conditions

Réciproquement, si les conditions trouvées ci-dessus sont remplies, l'intégrale sera doublement périodique; elle s'exprimera donc rationnellement au moyen de pa==â: et de p'u=yy et sera algébrique en x.

495. Cherchons encore à quelles conditions les termes non elliptiques

( 2 ) 2 A.0 logc^(a — a) 4- B ï a H- G tf

peuvent représenter le logarithme d'une fonction algébrique de X.

Il sera nécessaire que cette expression n'admette, aux multiples près de 2iti, qu'un nombre limité de valeurs pour chaque valeur de x, et a fortiori pour- chaque valeur de u. Or, pour une même valeur de m, A© \og<i(u — a) a une infinité de valeurs, difTérant de multiples de Ao2ic/. Il faut donc tout d'abord que les coefficients Aq soient rationnels.

Supposons qu'il en soit ainsi. Soit [x le plus petit multiple de leurs dénominateurs. L'expression (2) sera égale à

- logF, F désignant la fonction uniforme

eNBCi*+Ctt) n:rAol*(a — a),

laquelle ne devra prendre qu'un nombre limité de valeurs quand on change u en u -\- 2m^^s)^-\- 2/7120)2. Or ce chan-

54a SECONDE PARTB. — CHAPITRE VI.

gement la reproduit au signe près, mullipliée par une exponentielle, dont l'exposant est

fxB(amiT)i-Ham,Tfi,)H- |jLC(2/niC«)j-h 2/y«îW,)

H-(2/w.'nt -t-2m,Tjj) 2 Aoîi.(tt — a -h/ni wj-h m^fc). .

En remarquant que SAq est nul, cet exposant se réduit à

[2Tri,(B — SAo») -h2WiC]{lW,

[2T,5(B — £Aoa) -+-2(o,C]jJi/w,,

et, pour que Texponenticlle ait un nombre limité de valeur^, il faut et il suffit que les multiplicateurs de [x/ni, {xm^ soient commensurables à ^izi. On aura donc les conditions suivantes :

2T)i(B — SAoa) -f- 2ci>iC=/t2Tri,

2Tj,(B — SA^a) 4- 2a),C = /,2iti, /«7 /a étant rationnels, ou en résolvant, et remarquant que

( B — SAoa= — /52ci>i-h/,2ù)„

Réciproquement, supposons ces conditions satisfaites : soit V le plus petit multiple des dénominateurs de/^^f^; od aura

- loffF = i- logF^

F^ étant doublement périodique et pouvant, par conséquent, s'exprimer rationnellement en pw et p'a.