Les différentielles elliptiques

où X est un polynôme du quatrième degré

X = aua?^-h 4«i'2?'-i- 6a,a:*4- 4<2s^ -f- a^y

^entrent dans la classe considérée ci-dessus, car la courbe

5st de genre i.

La représentation simultanée de :r et dey = ^X. par des fonctions elliptiques d^un même paramètre peut se réaliser comme il suit.

Nous pouvons écrire

X =: «0 ^* -4- 4 «1 a?' s H- . . . 4- «4 sS

js étant égal à i et n'étant introduit que pour Thomogénéilé. Oe polynôme homogène admet les deux invariants

lî= ^o^ï — 4^iûf3-H 3^5, I3 1^ ûTo rtj «4 — 2 ai a^ aj — a\ — a© ci^ — a\ a^.

Posons X ^= t î-v;Xse changera en un polynôme sans

second terme

cl les invariants restent inaltérés; on aura donc

ce qu'on peut d'ailleurs vérifier par un calcul direct. Remettant l'unité à la place de z^ on aura

et

Nous allons montrer qu'on peut identifier cette dernière équation avec celle qui lie les deux fonctions elliptiques

en déterminant convenablement la constante ç et les invariants ^2 et ^8.

En eflet, on a identiquement

et la formule d'addition donne, d'autre pari,

ou

(pu — pv)-^ [p{u + iO — pif] = /* — 3pv.

On en conclut

(/«-Spr)'— 4(p" — p«')[p(«-H^-) — pp].

Cela posé, la fonction

^^='{pu — pv)[p{u + v)-'pv'\

admet les mêmes pôles o et — v que la fonction /; ce> pôles sont simples dans toutes deux, et pour u îniinimeDi petit, on a

Donc

i-^/p'^ — iP"^

est nul, car cette fonction elliptique, a^ant perdu l'un de: deux pôles o et — p, est une constante; de plus, elle s'annule pour u = o.

On aura donc

Cl n

FONGTIOKS BLUPTIQUE8. 545

OU, en remplaçant p" v par sa valeur en pp,

Pour identifier les coefficients de ce polynôme avec ceux de T, il faudra poser

d'où

gz—^P*^ — gtP^-'P'^V-=^^tl^--7.\ — !XJ= -l-

Enfin, pc^ se déterminera par la relation

Celle-ci a, aux périodes près, deux solutions, auxquelles correspondent des valeurs égales et opposées de p'v. Il faut choisir celle pour laquelle p'r = -j- a.,.

Les constantes g^y ^3, v étant ainsi calculées, on satisfera identiquement à Téquation j^^ = X en posant

(4) I «0 2 p£/pr'

le double signe pouvant être fixé arbitrairement.

Enfin, d'après une formule précédemment trouvée (352),

(5) dx — \d^^-^~^^ ^ — [pw — p(w-h \-)\du.

pu — p(»

On a obtenu ainsi tous les éléments nécessaires pour la transformation de la différentielle.