La fonction ^— étant du second ordre, à chaque
pw — p^> ^
valeur de a: correspondent (aux périodes près) deux valeurs
de II. Leur somme est égale à celle des pôles, qui est — r;
les valeurs correspondantes de y sont égales et contraires,
car le changement de £/ en — u — v change le signe de
pa — <p("-+- ^)' ^ chaque point {^x^y) de la courbe j'*:= X
répond donc une seule valeur du paramètre i/.
La fonction j/- s'annule pour les valeurs de u qui satisfont
à la relation
a 4- ^ = — «/ + période
ou
u= h /Wi (Oi 4- m,ci),.
Les valeurs correspondantes de x sont les racines de Téquation X = o. U sufGra, pour les avoir, de donner à chacun des entiers mi, m^ les valeurs o et i.
Nous obtenons ainsi une résolution de l'équation du quatrième degré par les fonctions elliptiques.
498. Équation différentielle d'Euler. — Appliquon> les formules précédentes à la transformation de la différentielle
djc dx
Elle se réduira à
, du
le signe ±: restant à notre disposition.
Soient donc x, x^ deux variables, liées par Téquation différentielle
dûc dx^
X| élant un poljnôme formé avec Xt comme X l'est avec j'.
Kn posant
fl, I l>'u — p'v
«0 2 p« — pi'
nous pourrons réduire cette équation à la forme
du du i
d'où
c désignant une constante. On aura donc
Ces deux fonctions elliptiques, d'ordre 2 et aux mêmes périodes, sont liées par une équation algébrique du second degré par rapport à chacune d'elles. Soit
cette équation. Elle sera évidemment symétrique par rapport k X et j?i, et sera équivalente à l'équation différentielle, sur laquelle on retombera en éliminant c entre F = a et sa dérivée.
499. Cette équation F peut être formée comme il suit : Soit t une variable auxiliaire, liée à x par une équation
algébrique du second degré par rapport à chaque variable.
En ordonnant successivement par rapport à chacune d'elles^
on pourra l'écrire ainsi
oi=i(f{x, t) =1 Xt^ -^ 2B t -h C = Mx^ -h 2N X -h \\ On en déduit
0= - p-dx-h - ^dl = {Mx -]- N) dx -h {kt -^- B) de
ou, en substituant pour x et t leurs valeurs
__ Ndtv/N*— MF B±v/B»— AC
±: v^N*— MP dx ± v^B» - AC dt:=zo,
548 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Yl.
et enfin
dx fit
V/B» — ÀG v^N*— MP
Soient .ri la seconde racine de Téquation 'f(^, <) = o, ei soient A|, B|, C| ce que deviennent les polynômes A, B, (] quand on y change x en Xs] on aura de même
dxi Ht
V/BJ — AiCÎ v^N»-MP
on aura donc, en choisissant des déterminations convenables pour les deux radicaux ^B*^ — AC, y/BJ — A| Ci ,
dx dxx
V/B--— AC v^B*— AiGi D'autre part, en éliminant t entre les deux équations A^*-h2B/-+-C=ro, Ai«* + 2B,^-hCi~o, on obtiendra entre x et x^ l'équation
^^^ /2BB,-AG,-C.\,y^^^3, AG) (Bf - A,G»).
Or A, B, G sont des polynômes en x du second degré. Si nous les déterminons de telle sorte que B^ — AG soit identique à X, l'équation différentielle (7) se confondra avec la proposée (G), et Téquation (8) représentera la relation algébrique entre x et X\ [après suppression du facteur (x — j*,)- <]ue nous mettrons tout à Theure en évidence].
On pourra prendre pour B un polynôme arbitraire du second degré, pour A un des diviseurs quadratiques do B=^ — X (lequel ne sera déterminé qu'à un facteur constant
près); et pour G le quotient — r — • Gette solution comporte en apparence quatre constantes arbitraires; mais il esi aisé de voir que l'équation (8) ne 'dépendra, en réalité, que d'une seule combinaison de ces constantes.
En effet, le polynôme symelnque en
X, Xi sera de la forme
0L^^x*x\-h 2a,|(j?*j:, H- xx])
Maïs, de plus, pour x^ = x^ il se réduit identiquement à
B* — AC =:^X =LaQX^-{- 4«i«^*-+-' • •; d'où les relations
Joignons-y celle-ci
a,o =r. a, — 2 îx,
a étant une nouvelle inconnue. Tous les coefficients a pourront s'exprimer au moyen de cette seule indéterminée, et l'on
aura
