BB,-A.C-AC,
W désignant le polynôme
ÎW=z aQX'x\-\- 2a^{x^x.-i- xx]) -h a,(a:'-+- x\) •+- l\axXx^-\- 2a^{x -h x^) ■+- a^.
La relation entre ^ et j:i sera donc ( lO) [ V — 2fx(:c — XiYY = ^^i
ou
500. Il reste à y mettre en évidence le facteur (x — Xi)^ Posons, à cet effet,
N = aja?'-!- 2a,a7 -j- flfj, P = a,j?*H- 2a,ar-^ «4,
55o SECONDS PARTIS. — CHAPITRE TK
et soient M|, N|, P| les polynômes analogues en X|. Nous aurons
V =M xl-h^N a:i-+-P = M,a:«-+-2NiJ?-+-P„
X iziM ar*4-aN^ -h F, Xi =: M| j:} + 2 Nt a:, 4- Pi ;
d'où
W«-XXj= (Ma;Î4-2N:ri-+-P)(Mi;r*-+-2NiJ? -+-Pt) — (Mjc*H-2Na; 4-P)(M,a:î+2N,a:i-hPi) — (jc — a?,)[ 2(NM,— NiM)^j?,
(PMi— PtM)(ar-4-a?i) 2(PN,-PiN)].
Or les déterminants NM, — N^M, PM, — P,M, PN,— P|N sont évidemment encore divisibles par x — ^i; les quotients peuvent se calculer sans difficulté, et la relation entre Xy Xi, débarrassée du facteur étranger {x — ^i)*, prendra la forme définitive
(il) n — 4l*^-+-4l**(^ — ^i)'=o>
n désignant le polynôme
III = 4(«o«f — a]) x^xl + 4(^0^1 — aia,)(^-l- JC,)jrjr, -h ( «0 «* — « î ) ( -2? -H X| )* H- 8 (ai a, — a* ) xx^ -+-4(«i«4— «î«8)(^ + ^i)-+-4(«i«4— «*)•
501. L'équation (lo), résolue par rapport à la constante u. donnera cette relation sous la forme irrationnelle
Il reste à fixer le double signe. Nous allons établir que le signe — doit être rejeté.
Supposons, en effet, que x, Xtj partant d'une même valeur initiale a, varient de manière à conserver une valeur
PONCTIONS ELLIPTIQUES. 55 1
constante à la fonction
les radicaux y/X, y/Xi ayant d'ailleurs la même délerminanation initiale.
On aura
-r— dx -I- -5 dXx =1 o.
OX OXi
Cette équation sera applicable à l'origine, car en ce point F et ses dérivées partielles sont finies. D'ailleurs F est symé-
trique en x et x^; on aura donc en ce point -r- := -7 — > et,
par suite, dx = — dx^ . L'équation difTérentielle
dx dx^
donnerait, au contraire, dx = dx^.
L'équation différentielle
dx dx\ entraîne donc la suivante
i{x — XiY
où les radicaux y/X, y/Xi ont la même détermination que dans l'équation différentielle.
502. Polygones de Poncelet. — Soit C une conique ; les coordonnées de ses points pourront s'exprimer rationnellement au moyen d'un paramètre x. Soit C une seconde conique, donnée en coordonnées tangentielles. Les coordonnées de ses tangentes pourront s'exprimer rationnellement par un autre paramètre t.
55a SBCONBB PARTIE. — CHAPITRE YI.
La condition pour qu'un point x se trouve sur une tangente / sera exprimée par une équation algébrique
du second degré par rapport à chacune des variables, car chaque tangente t coupe C en deux points et réciproquemeni, de chaque point a:, on peut mener deux tangentes à C. Soit
et posons B=* — AG=:X; soient Xo, x^ les deux racines d^ cette équation; on aura, comme nous Tavons vu,
Posons, comme au n** 496,
«0 ' 2 pu — pif
On pourra se servir pour caractériser les points de la courbe C du nouvel argument lu A chaque point correspondent, aui périodes près, deux valeurs /^ et — u — v de cet argumeni.
A ces deux arguments correspondent deux valeurs de-j-
cgales et contraires et qui représentent les deux détermÎDa-
Soient Uq Tun des arguments correspondants au point j^i». Ut Vun de ceux qui correspondent kx^; on pourra choisir ce dernier de telle sorte que Téquation (i4) se réduise à
dUQ:=z-{- dUi, d'où Ui-= Uq-^ c,
c désignant une constante.
Cela posé, par un point œ^ de la conique C menons une tangente ^o ^ G'; elle coupera C en un second point x^. De ce point menons la seconde tangente it à C; elle coupera C en un nouveau point X2t duquel nous mènerons une nouvelle tangente /^ ^^ ainsi de suite. Cherchons à quelles con-
tions du radical
PONCTIONS ELLIPTIQUES. 553
ditions ce polygone de tangentes se fermera au bout de n opérations.
Il faut pour cela que le point Xn se confonde avec Xq, Or les points Xq^ x^^ ..., Xn admettent respectivement pour l'un de leurs arguments elliptiques Woj WoH- c, . . . , Wo + ^c. Ce dernier doit se confondre avec Tun des deux arguments elliptiques Uq ou — Uq — v du point a;©. Nous devrons donc avoir
Wo -4- ne = «0 -H période ou
Uq-\- nc^=z — u^ — V -\- période.
La première relation sera satisfaite si c est un /z'*^"* de période. Il est remarquable que cette condition ne dépende pas du choix du point Xq,
La seconde relation est satisfaite pour les quatre systèmes de valeurs
— v — ne , .
Uq^ h /n|(i)i-i- m,(D, (/ni = oii, m,=:o, i).
Mais il est aisé de voir que, si elle est remplie, les tangentes ne forment pas un véritable polygone, mais une ligne polygonale décrite d^abord dans un sens, puis dans l'autre.
En effet, Tégalité
£/o-+- nc = — Uq — i' -h période,
de laquelle résulte la coïncidence des points Xo^ Xn peut s'écrire ainsi
UQ'\-{n — A) c = — ( £/(, -h kc)— f -4- période
et montre que Xk coïncide avec Xn ff. La tangente /* qui joint les points x^, xj^^t coïncidera de même avec tn-k-i qui joint
Xfi-^k-.\ a Xn^k'
Deux cas seront à distinguer suivant que n est pair ou impair.
Soit n = 2m. Les tangentes tm-t et t„i coïncideront. Or ce sont les deux tangentes menées à G par le point Xm\ ce
point sera donc sur C, et sera Tun des quatre points d^intersection de G' et de G.
Soit 71 = 2/n + i; les points x^, ^m+i coïncident. Or ce sont les points d'intersection de tm avec G. Donc tm est Tune des quatre tangentes communes à G et à G'.
503. Cubiques planes. — Nous avons vu que ces courbes sont les transformées homographiques de la courbe particulière
sur laquelle il sera commode de faire Tétude de leurs propriétés projectives.
A chaque point de cette courbe correspond (aux périodes près) une seule valeur de u qui le caractérise.
Une courbe de degré n,
coupe la proposée aux points dont les arguments sont les zéros de la fonction elliptique
Gelle-ci n'a qu'un pôle, a= o, d'ordre 3/i; elle a donc in zéros, dont la somme est une période. Cette remarque est féconde en conséquences.
Ainsi, pour que trois points Uty ^2, u^ soient en ligne droite, il faut que Ton ait
Gette condition est d'ailleurs suffisante, car la droite qui joint les points tf|, U2 coupe la cubique en un troisième point, qui ne pourra être que ^3. De même, pour que six points £/|, . . ., ao soient sur une conique, il faut et il sodSt qu'on ait
Le point de contact U d'une tangente menée à la courbe
PONCTIONS ELLIPTIQUES. 555
par un de ses points u sera fourni par Téquation
u 4- aU = 0,
d'où
U y a donc quatre tangentes.
Soient Ui, e/^, uz et u\^ u\<t u\ les points de rencontre de la courbe avec deux droites arbitraires; joignons u\u\^ u\u^^ u^Uz* Ces droites rencontreront la cubique en trois nouveaux points u\^ u\^ u\ qui seront en ligne droite. En effet, des équations
«1-+- «1+ Wj= O, Wj -h M, 4- "3=0,
Wl -h u\ -H a\ = o, w, -h u\ + wj = o, £/,-♦- 1/', H- u\ = o,
on déduit
wj 4- mJ -H aj = o.
La tangente en un point d'inflexion u coupe la courbe en trois points confondus en u; on aura donc
Si/^ o,
d'où
aWi^i-H 2/n,a),
mi, m^ pouvant varier chacun de o à 2. Nous aurons donc 9 points d'inflexion, que nous représenterons commodément par la notation
a = (mim,) (mj = o, i, 2, mj=o, i, 2).
La droite qui joint deux points d^inflexion (mim^), (m^/Wj) passera évidemment par le troisième point d'inflexion (m'/Wj), m\^ m\ étant définis par les relations
m,-h/njH- m* = o, m,4-mj-hmî = o (modS).
