X -= ax^ -h Qx ^2"»-* -T

I5TËGRALBS IXOtFIXIKS. 37

On aura, "). désignant un entier quelconque ^o,

H en intégrant

lonnuie qui ramènera Tînlégrale Ix+zi-i a"x înU'gralcs I d'in- 'iice moindre.

Par l'application répétée de cette formule, il viendra

Udjr ,—

où T est un polynôme entier.

/R do) — — :-, où R est une frac-

lion rationnelle quelconque, se réduit : i**à des termes algébriques ; 'x^ à une combinaison linéaire des intégrales Iq. . . . , ffl 2; 3** à des intégrales de la forme

où p est de degré moindre que P, ce dernier polynôme étant (Failleurs premier à X, et n^ayant que des racines simples.

29. JusquMci nous n'avons employé pour la réduction que (les opérations purement rationnelles; mais si, maintenant, nous résolvons l'équation algébrique P=o, nous pourrons

«l^Tomposer ~ en une somme de fractions simples

P X |JL X {JL|

Si donc nous désignons par J([x) l'intégrale

r dx

nous aurons

~ a J(;jl) -h a,J(;x,)

Les seules transccndanles nouvelles obtenues par riiii< gration des fonctions rationnelles de x et de y/X sont doi les /î — I intégrales fo, I , I/i 2 et l'intégrale J([a).

30. La métliode de réduction que nous venons d'expos< peut être appliquée avec avantage au cas où X est un polj^ nôme du second degré \x^ -^ ">. B^ -f- C. Elle ramène le pr< bième de l'intégration à la recherche des deux intégrales pai ticulières

/ , .==. „ „-^. ^. et / =^-=^^

que nous avons obtenues.

31. Si le degré de X est un nombre impair 2/? -i- i , le intégrales I sont en nombre 7.p. On les partage en (Kmt classes : i® les intégrales de première espèce

et les intégrales de seconde espèce

Les premières s'annulent et les autres deviennent innnie^ pour j: = 00.

Soit, en cfTel,

X — .c'/'^» -f- ax^i' f- ^^, u-''~' -4-

On aura

ir^TÉGRALES INUÉFIKIKS. ^9

cl. VU inléârant,

ti. \eloppemenl qui montre que, pour x = co,h est de Tordre ^-^4-1. 11 sera donc nul si *</?, infini si k^p. Lp> inté«^rales J(;^) se nomment intégrales de troisième

3i. Le cas où X est un polynôme de degré pair peut se; rimener au précédent, comme nous allons le faire voir.

Soil

polvnôme de degré 2/?. Posons

il nll

On aura

IW^ ^ T (i/,

fêlant une fonction rationnelle de t. On voit que la subsliulion a réduit d'une unité le degré du poljnôme sous le "iidical.

33. Dans le cas particulier des intégrales elliptiques, le iulvnôme sou3 le radical pourrait ainsi être abaissé au troiième degré; mais on préfère, parfois, employer une transformation un peu différente, par laquelle ce polynôme sera e produit de deux facteurs réels du second degré, ne contenant que des puissances paires de la variable.

3o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE I.

Supposons d'abord que X soit du troisième degré. Soit Tune des racines de Péqualion X = o, on aura

y/X — v^'A ( x- — a) ( .r* -h pjc -+- q ). Posons X = a 4- ^*, il viendra

V^X = / v/ÂL( a -H ^* )=* -h yy ( X -h ^- 7-+-^-

On se trouve donc ramené au cas où le polynôme sous I radical est du quatrième degré, cas que nous allons IraÎLer

Si X a ses coefficients réels, Téquation X = o aura ai moins une racine réelle. En la prenant pour a, la transfor mation qui vient d'être indiquée sera réelle.

34. Supposons maintenant X du quatrième degré. Oi pourra écrire

/>, q, p', q' étant réels, si X a ses coefficients réels.

Si p =/>', on fera disparaître les puissances impaires de \i variable en posant x = t — ^p.

On obtiendra le même résultat, si/?^/>', par une substitution de la forme

Cette substitution donnera, en effet,

Les termes du premier degré en t disparaîtront dans chacun des facteurs sous le radical, si l'on pose

iXix-h p (X -+- |x) H- 9.q no, 2X|x-+-/3'(X -h ix) -j- 27'— o.

INTÉGRALES INDÉFINIES. ôl

Ou déduit de ces équations

Donc A et «jl seront les racines de Téquation

iies racines seront réelles si Ton a

Or, si Ton appelle a, ^ les racines de Téqualion

a:'-hp^r -4- </ .— o, -;, 0 celles de Téquation

JL'^-hp'a- -h y' — o,

• >n aura

/>---(a-Hp), q~^h

Substituant ces valeurs dans l'équation de condition précédente, elle devient

( a3 --;$)*-+-[(« H- ?)Y(r-(Y-h2)aP](a -4- 3-7 -■o)>o,

iMi enfin

(^tle condition sera nécessairement satisfaite si les quatre (|uaotités a, ^, y, S, ou seulement deux d'entre elles, a et ^ par exemple, sont imaginaires ; car les quatre facteurs du produit seront conjugués deux à deux, et le produit de deux imaginaires conjuguées est une somme de deux carrés.

Si a, ^, Y> ^ ^^^^ ^^^s réels, on pourra supposer la décomposition de X en deux facteurs eifectuée de telle sorte que

les racines a, ^ du premier fadeur soient plus grandes que les deux aulres y et 5. Chacun des facteurs a — y, a — o, P — y, P — 8 étant positif dans cette hypothèse, la condilion sera satisfaite.

3o. Les intégrales elliptiques peuvent donc dans tous les cas se ramener, par un changement de variables qui sera réel si X est lui-même réel, à la forme

OÙ F(a*) est une fonction rationnelle, et X un polynôme de la forme {aa-^-h ù){a'x'^'\- b').

Cetle expression peut s'écrire

F(.r)-hF(— .r) , i /* F(.r) — F(— ,/M ^

Mais V{jc) — F( — x), étant une fonction impaire, sera de la forme ^{x^)x. Si donc on pose dans la seconde inlégralc x''= tj d'où IX dx = dt, elle deviendra

expression qui peut s'intégrer par les méthodes de la section précédente.

Il ne restera donc à étudier que la première intégrale, où le numérateur est une fonction paire,

3o. Nous aurons divers cas à distinguer dans cetle élude, suivant les signes de a, 6, a', b\

Supposons d'abord que a ei b soient de signes contraires. On pourra supposer b '^-^ o, a <; o; car on ne change pas X en changeant simultanément les signes de a, 6, a', V .

Ce cas se subdivis n'a, d'apros le signe des quantités a\ h\

INTÉGRALES INDÉFINIB9. 33

ea quatre autres :

i*'cas.. .. a<o, ô > o, a'<o, A'>o.

2* cas.... a<o, ô > o, a'<o, b'<Co.

3* cas.... a < o, ^ > o, a'>o, 6'>o.

4* cas.... a < o, 6 >► o, a'>o, 6'<o.

SI a et 6 sont de même signe, on devra supposer également que a' et 6' sont de même signe; sinon, en échangeant a et b avec a' et 6', on retomberait sur les cas précédents. Comme on peut d'ailleurs supposer b positif, on n'aui;a que deux cas à distinguer :

5* cas.... a > o, 6 > o, a'>o, 6'>o. 6' cas a>o, 6>-o, a'<o, b'<Co.

Ce dernier cas, où le radical ^X sera imaginaire quel que soit X, se ramène immédiatement au cinquième en faisant

sortir du radical le facteur y/ — i .

37. Reste à examiner les cas i, a, 3, 4i 5. Il est aisé de les ramener les uns aux autres.

Posons, en effet,

d'où

t^—b , Idt tdt

X^zzz ) dx = =: — = >

fi a-r \/a\/t*—b

^'"X = u/ a' ^^^ -\- b' — -^\/a' t*-h ab' - ba', '

et, par suite,

i^(x^)dr __

\/X ^(-^'ti-^bji—a't^ — ab'-hba')

Si l'intégrale primitive rentrait dans l'un des cas 3, 4» S» sa transformée rentrerait dans le premier ou le deuxième cas, les coefficients des termes en t^ sous le nouveau radical étant tons deux négatifs.

En particulier, si PiDtégrale primitive rentrait dans le troi

sième cas, la transformée rentrerait dans le premier; car oi

aurait

et, par suite,

Le deuxième cas se réduit d'ailleurs au troisième en posanl

d'où

. dt

ypi— ^^^\/{a -^ bt^){a' -^ b' t-) — ls/{- bt^-- a) {-- b' t-^ — a')

^{x^)dx

car, ayant

on aura

Le troisième cas pouvant à son tour se réduire au premier, ainsi qu'on l'a vu plus haut, les cinq cas se ramènent en dernière analyse à celui-ci.

38. Mettant en évidence les signes négatifs de a et a', nous aurons donc à considérer les intégrales de la forme

r ^(t^)dt î r ^{t^)dt

Si pétait égal à ^9 on pourrait extraire la racine carrée^ et l'on n'aurait plus à intégrer qu'une fonction rationnelle. S'ils

INTÉGRALES llfDÊFINIBS. 35

sont inéganx, snpposons, pour fixer les idées, j ^ t? ^t soit

Posons

jdësigDaDt une nouvelle variable; rintég;rale deviendra

slab' ^ désirant une fonction rationnelle.

39. On voit donc qu'on peut, par une substitution réelle, transformer Tiniëgrale primitive en une autre intégrale analogue, mais où le polynôme X ait la forme canonique

A- étant une constante comprise entre o et i .

Nous avons admis implicitement dans toute cette réduction que le polynôme existant sous le radical primitif avait ses coefficients réels. S'ils étaient imaginaires, on pourrait encore réduire ce poljTiôme à la forme

avec d'autant plus de facilité que nous n'aurions plus à nous préoccuper, comme tout à l'heure, de conserver aux coefficients leur réalité.

Cela posé, admettons, pour fixer les idées, que l'on ait

on aura

k étant une constante réelle ou imaginaire, dont le module est au plus égal à i; et si Ton pose

l'intégrale prendra encore la forme

<p ( .r* ) dx

40. Appliquons à l'intégrale ainsi transformée les procédés de réduction exposés plus haut (n®* 25 à 29). On pourra l'exprimer au moyen des quatre intégrales suivantes

.rdx

r .r' dx r à

J sl{Y--x^)^i-k\r^) J {x^ a)sj'(i~

Mais si l'on pose x^= t^ on aura

xdx \ r dt

intégrale exprimable par logarithmes, le radical ne porlanl plus que sur un polynôme du second degré. On a d'autre part

r r' dx

J v/(i-.r*M7^rF:?~)

— / , dx

Enfî

{jc — a)v/(i — ^*)(i — A*a7»)

/xd.r

/a dx

La première de ces deux intégrales devient encore exprimable par logarithmes si l'on pose :r^= t. La seconde peut s'écrire

mx^)\J{i — x^){\ — A*j?*)

en posant m= 5

Les intégrales elliptiques se ramèneront donc en (in de compte aux trois transcendantes

-h /7Jj:rî)y/(i — x*)(i — A-*j;*)

aaïquellesLegendre a donné le nom àHntégrales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce.

La constante Ar, qui figure dans ces intégrales, se nomme le module des intégrales elliptiques considérées.

Si Ton change de variable en posant x = sin^ , ces intégrales prendront les formes suivantes

H- m sin'<p)v/i — A* sin'cp

38 SECONDE PARTIE. — CHAPITBE I.

III. — Intégration des fonctions transcendantes. 41. I. Soit à intégrer

/désignant une fonclion rationnelle.

On rendra rationnelle la différentielle, en posant e'^= /, d'où

I , , de

a ^ ai