I. — Surfaces de Riemann

505. Soit u une fonction algébrique de ;;, définie par une équation irréductible de degré n

Nous admettrons que la courbe/ = o n'ait que des points multiples à tangentes séparées. S'il en était autrement, il nous faudrait opérer sur les variables ;;, it une transformation birationnelle telle que la courbe transformée jouisse de cette propriété.

En opérant encore, s'il est nécessaire, une transformation homographique, nous pourrons faire en sorte : i® que la courbe /n'ait pas de point multiple à l'infini; 2° que l'axe des u ne soit parallèle ni aux asymptotes de y, ni aux tangentes qui passent par les points multiples, ni aux tangentes d'inflexion.

Le nombre des points de f oii la tangente est parallèle aux u sera égal à la classe v de la courbe. Ces points seront des branchements, où deux valeurs de u deviennent égales. Aux points multiples, l'équation en u a aussi des racines égales; mais, en vertu des hypothèses faites, chacune des branches de la fonction u restera monodrome aux environs de ces points.

A partir de chacun des v branchements, traçons une coupure s'étendant jusqu'à l'infini, et ne passant pas par les

558 SECONDE PARTIE. — GflAPITBE YII.

points multiples. Dans le plan ainsi coupé, chacune des branches i^i , . . . , e/„ de la fonction u sera monodrome; mals^ si l'on traverse une coupure, deux de ces branches, U£ et £Ia par exemple, seront permutées entre elles. Pour exprimer cette propriété, nous dirons que la coupure en question a le caractère (ik).

Soient L|, ..., Ly les diverses coupures, écrites dans l'ordre où se succèdent leurs points d'intersection avec uq cercle de rayon infini, décrit dans le sens direct. La loi de permutation des branches £/«, ..., Un sera entièrement définie lorsque l'on connaîtra le tableau

des caractères de ces coupures.

506. En changeant le tracé des coupures (^ff- 27), 011 pourra modifier ce tableau. Soient, en effet, L, L' deux coupures consécutives; (ik), (i'k^) leurs caractères. Nous dirons que nous faisons reculer la coupure L par rapport à U si nous lui donnons le nouveau tracé L| marqué en poiotillé sur Idijig. 27. La permutation entre les deux branches Ui,

Fig. 2^,

i^A) qui se faisait le long de L, se trouve reportée le long de L|. Dans la région du plan coupé comprise entre ces deux lignes, les branches primitivement dénommées i//, ua s'appelleront maintenant i/;^, Ui, et les autres garderont leur dénomination. Le caractère de L' restera donc inaltéré si les

INTÉGRALES ABÉLIBIINBS. 559

couples d'indices (j, A:), {H^ Ar') sont identiques ou complètement différents; mais, s'ils out un seul indice commua {''=1, le caractère de L', qui était primitivement {ikf)^ se trouvera changé en {kld).

Supposons, au contraire, que, laissant la coupure L immobile, nous fassions avancer \J de manière à lui donner le nouveau tracé L,. On verra de la même manière que le caractère de L restera inaltéré après ce changement si £, A:, i', h! sont différents, ou si i!=ii^ A/== A:. Mais si ï'= / et Ar'^ A:, ce caractère, primitivement égal à (f'A*), sera changé en {kk').

Nous voyons donc qu'en déplaçant les coupures, nous pouvons intervertir l'ordre de deux caractères consécutifs du tableau T, à la condition, s'ils ont un indice commun, de remplacer cet indice dans l'un des deux caractères (choisi à volonté) par celui qui lui est associé dans l'autre caractère.

507. M. Lûroth a montré que, par une suite d'opérations de ce genre, on peut ramener le tableau T à une forme canonique très simple.

Partageons les caractères en deux classes, suivant qu'ils contiennent ou non l'indice i . Il existera nécessairement des caractères de la première claçse ; car l'équation /" = o étant irréductible, on doit pouvoir passer de la branche Ux aux autres branches (303). S'il existe aussi des caractères de la seconde classe, on pourra les faire passer en queue du tableau en les permutant avec les précédents ; ceux-ci pourront être modifiés, mais en restant de première classe. Après cette première opération, on aura

T-PiT,,

Pi étant un produit de caractères de première classe, Ti un produit de caractères de seconde classe.

Si tous les caractères du produit P| ne sont pas identiques, il contiendra deux caractères consécutifs différents (i«')(iA:), dont le produit pourra être transformé en (iA:)(A:^'). Nous avons fait ainsi apparaître un nouveau

56o SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.

caractère de seconde classe (ki), que nous amènerons à la queue de P| pour le réunir à Tf. Nous pourrons ainsi réduire successivement le nombre des facteurs de P| jusqu'à ce quMls soient tous égaux.

Supposons qu'on ait à ce moment

Pjzr:(i2)\, T = (I2)^T,

et que n soit > 2. Si X| > 2, on pourra le réduire de deux unités. En effet, pour qu'on puisse passer de l'une des branches Ut, U2 èi Tune des autres branches u^y . . . , il faut que Tf contienne un caractère au moins, tel que (^S), où figure l'indice 2. Amenons-le en tête de T| ; T commencera par le produit (12)^1(23), qu'on peut transformer successivement dans les suivants :

(i2)>.-»(i3)(i2)(i3), (I2)VÎ(I3)»(23),

En répétant au besoin celte opération, on amènera X| à ne pas surpasser 2.

Cela fait, opérons sur le prcîduit T, comme nous l'avons fait sur T; on pourra le mettre sous la forme

Ta étant un produit de caractères où ne figure plus l'indice 2, et X2 étant au plus égal à 2 (si /i — i ]> 2). Continuant ainsi, nous aurons finalement

X,, ..., X;,, étant des entiers positifs, dont le dernier seul peut surpasser 2.

Ces entiers sont pairs ; car si X^, par exemple, était impair, en décrivant un cercle de rayon infini avec la détermination initiale 2/3, on obtiendrait comme valeur finale U2* L'infioi

INTÉGRALES ABËLIBNNES. 56 1

serait donc un branchement, contrairement à nos liypoihèses.

On aura donc

p désignant le genre de la courbe /(t. I, n** 586).

308. Concevons, avec Riemann, un système de n feuillets plans P| , . . . , P,i étendus sur le plan P des z ; chacun de ces feuillets, tel que P/, étant d'ailleurs coupé suivant celles des lignes L<, ..., Lv dans le caractère desquelles figure l'indice ù

Une quelconque de ces lignes, L, ayant pour caractère (/Âr), sera une coupure pour les deux feuillets P,-, P^. Imaginons qu'on soude chacun des bords de la coupure pratiquée sur P| avec le bord opposé de la coupure faite sur P^. Si nous opérons de même pour chacune des lignes L, , . . . , Lv, toutes ces soudures auront pour résultat de réunir nos n feuillets en une surface unique S.

A chaque point (5;, Ui) de la courbe f(^z^ ?/) = o, faisons correspondre sur S un point Ç ayant pour projection s et situé sur le feuillet P/. Si le point (.3, ui) se déplace sur / d'une manière continue, le point X^ décrira sur S une ligne continue; car une discontinuité ne pourrait se produire dans cette trajectoire que, si z traversant une coupure, ui se trouvait changé en une autre branche Uk\ mais X^ passe alors du feuillet P/ sur le feuillet P;^ et, ces deux feuillets étant soudés le long de la coupure, la continuité est maintenue.

La variation simultanée des deux quantités s, u (liées par l'équation /= o) est donc figurée sans ambiguïté par le déplacement de Ç sur la surface S ^ et si 2^ décrit un contour fermé, z t\ u reprendront au retour leur valeur primitive.

La variable X^ étant constamment égale à z en valeur numérique, nous pourrons l'appeler dorénavant z\ comme elle ne parcourt plus le plan simple, mais la surface de Riemann, il ne suffira plus, pour qu'elle décrive un contour fermé, qu'elle j. — II. 36

56a SECONDE PARTIE. — CHAPITRE TH.

revienne à sa valeur primitive; il faudra, de plus, qu*elle se trouve au retour sur le même feuillet qu'au départ.

509. Les points de la surface S correspondent uniformément aux cycles de la courbe /.

En eflet, considérons d*abord un point (zo, Uoi)^ qui soit simple sur la courbe /. C'est l'origine d'un cycle unique, ayant pour équations

si la tangente n'est pas parallèle aux i/, ou

dans le cas contraire. D'autre part, ce point correspond à un point unique de la surface S.

Considérons maintenant un point multiple, où se croisent u branches, telles que e/|, ..., Uy,. 11 sera l'origine de (jl cycles, de la forme (1), représentant chacun l'une de ces branches aux environs du point multiple. D'autre part, il correspond à |JL points de S, respectivement situés sur les feuillets Pi, ..., PpL9 qui ne sont pas soudés entre eux en ce point.

Enfin la courbe /a n cycles dont l'origine est à l'infini, et dont les équations ont la forme

Nous les regarderons comme correspondant à autant de points situés à l'infini sur la surface S.

510. Une portion finie s de la surface S, bornée par un ou plusieurs contours fermés, est dite connexe, s'il est possible de réunir deux quelconques de ses points par une ligne continue entièrement située sur 5.

La connexité sera simple, si toute transversale ab tracée à l'intérieur de s, entre deux points de sa frontière (et de manière à ne pas se couper elle-même), partage s en deux

INTÉGRALES ABÉLIENKES. 563

régions distinctes, de telle sorte que, pour passer de Tune à l'autre, il faille nécessairement sortir de s ou traverser ab. Elle sevK double, si, en coupant s par une transversale t^ convenablement choisie, la nouvelle surface $^ ainsi obtenue est simplement connexe. Généralement, elle sera d'ordre N, si une coupure, faite suivant une transversale convenable Z^, transforme s en une surface de connexité N — i.

D'après cette définition, si 5 est connexe d'ordre N, on pourra la transformer en une surface simplement connexe, en la coupant successivement par N — i transversales, dont chacune ait ses extrémités, soit sur la frontière de 5, soit sur une des transversales précédentes, mais n'ait aucun autre point commun avec ces lignes, et ne se coupe pas ellemême.

511. Lemme. — Les deux régions 5j, 52, dans lesquelles une surface simplement connexe s est partagée par une transversale ab^ sont elles-mêmes simplement connexes.

Coupons, en effet, S\ par une transversale cd\ trois cas peuvent se présenter :

1® Si c et ûf sont sur la frontière de 5, cd sera une transversale sur 5, qu'elle partagera en deux régions séparées. On ne pourra donc passer d'un côté à l'autre de cette ligne, en restant sur 5, et, a fortiori^ en restant sur 5|, sans la traverser ;

2® Si c est sur la frontière de 5, etûf sur la première transversale ab^ la ligne cdb sera une transversale de s. Pour passer d*un côté à l'autre de ce/, il faudra donc nécessairement, ou sortir de 5, et par suite de 5| , ou traverser cdb. Mais, en traversant db^ qui fait partie de la frontière de 5|, on sortirait de 5j . Pour passer d'un côté à l'autre de crf, il faudra donc nécessairement traverser cette ligne, ou sortir de S\ .

3** Si c et df sont tous deux sur aé, la ligne acdb sera une transversale sur s. Pour passer d'un côté à l'autre de cd^ il faudra ou sortir de 5, et par suite de 5|, ou traverser acdb s

Or, en traversant ac ou db^ on sortirait de 5f . II faudra donc, ou sortir de s^^ ou traverser cd,

512. Théorème. — Coupons une surface 5, de cornexité N, par |x transversales successîi^es; soient 5, , ..., ^les régions distinctes en lesquelles elle se trouve partagée; N|, ..., N;„ leurs connexités respectives, IVous aurons la relation

(4) ^^(N,-2)+ix=N-2.

On peut, en effet, en coupant la surface ^/par N/ — i Iran? vcrsales convenablement choisies, la changer en une surfac T/ simplement connexe. Opérant de même sur chacune dt^ surfaces 5i, ..., Sm^ on voit que, par un sjslème dt

jjL -|- \ (N, — i) transversales successives 8i, 62? •--' on i

décomposé 5 en régions simplement connexes o-,, a-j?

On peut, d'autre part, tracer sur s un second système A N — I transversales t^^ Z^, . . ., qui la transforme en une surface 7 simplement connexe.

Une surface simplement connexe restant évidemment telle, si Ton déplace infiniment peu une portion de sa frontière, nous pourrons, en modifiant légèrement, s'il y a lieu, le tracé des deux systèmes de transversales, faire en sorlt qu'ils ne se coupent qu'en un nombre fini de points. Soit 0 Ir nombre de ces points. Ils partagent les transversales 8|, Oj, ...

(lu premier système en Y''^/ (^* — i) 4- 0 tronçons et

celles du second système tx^ t^, ... en N — 14-8 tronçons. Gela posé, cherchons en combien de régions distinctes .< sera partagé par l'ensemble des lignes /i* ^29 •• •« ^t? O3» •••- Traçons d'abord les lignes /^, /,, . . .; nous obtiendrons uni seule région simplement connexe o-. Traçons maintenant successivement les divers tronçons de ôj, puis ceux de 6,, . . .: chacun d'eux sera une transversale pour une des régions préexistantes, qu'il partagera en deux. Le nombre final des

INTÉGRALES ABÉLIENNES. 565

régions sera donc

Supposons, au contraire, qu'on ail commencé par tracer les lignes 8|, 82? •••• Nous aurons à ce moment m régions simplement connexes o-j, ..., o-,». Traçons successivement les divers tronçons de /|, puis ceux de ^a, etc. Chacun d'eux partageant en deux parties une des régions préexistantes, le nombre final des régions sera

En égalant cette expression à la précédente, on obtient la formule (4).

513. Deux cas particuliers de cette formule méritent d'être signalés :

1** Si m = I, elle se réduit à