Théorème. — Supposons

1° Que la surface s soit bornée par X contours fermés distincts A| , . . . , Ax ;

2** Qu^ on puisse, sans détruire sa connexité, la couper

suivant p contours fermés C|, . . . , C^ qui ne se tras^ersent pas mutuellement ;

3** Que V adjonction d'un nouveau contour quelconque Gp+i ne traversant pas les précédents détruise la connexité.

V ordre de connexité de s sera X -f- 2/>.

Soit, ea effet, 5' la surface obtenue cd coupant s suivant Cj, ..., Cyy. Elle est encore connexe. Soient donc yi un point de C| ; y'p Y« ^^^^ points infiniment voisins de yi? situés de part et d'autre de C| . On pourra les réunir par une ligne A, tracée sur 5'. Lorsque y,, y, viendront se confondre avec Yi, A deviendra un contour fermé Dj, qui traverse C| en un seul point yi.

Coupons ^ suivant D|. La nouvelle surface s^ ainsi obtenue sera encore connexe, car on peut passer d'un côté à l'autre de D| en suivant le contour G|. On pourra de même tracer 'sur ^^ un contour fermé Da traversant C2 en un seul point Y2; et en coupant s^ suivant D^, on obtiendra une surface connexe s^. Continuant ainsi, on arrivera à une surface connexe s^ obtenue en coupant s suivant les ip contours C|, Di ; C2, Da; • • • ; C^, D^. Cette nouvelle surface sera limitée par X-hp contours fermés, à savoir :

Les X contours A| , • . . , Ax ;

Les /> contours R| = CiDj C7*D7*, ...,R^=: C^D^C"!' D~' obtenus respectivement en suivant : i® l'un des bords de la coupure C<; 2^ l'un des bords de la coupure D,-; puis, dans le sens inverse; 3® le second bard de Ci\ 4* le second bord de D/.

Nous donnons le nom de rétrosections à ces contours

515. Soit maintenant tù un point quelconque de^; joignons-le :

I** Aux contours A| , . . . , Ax par des lignes 4Lm • • • ? O? 2® Aux points Yo • "1 Xp P^ ^^* lignes ^ILi , . . . , 3f\Lp.

INTÉGRALES ABÊLIENNES. 667

Si nous coupons / suivant les lignes ^i , • . . , 4^X9 ^î^i ) • • • > Oîl/^,nous obtiendrons une surface 5'", bornée par un seul contour fermé Q qui résulte de la succession des lacets ^i A, ^/ ,... , 31L| Rj 31^7*, .... Cette surface sera encore connexe, car on peut passer d'un bord à l'autre d'une des sections ^/ ou DTii en suivant le contour A,* ou B/.

D'ailleurs /'^ sera simplement connexe. Supposons , en effet, qu'on pût la couper par une transversale 8e sans détruire sa connexité. Soient ^ un point de la transversale; p', ^'^ deux points infiniment voisins de p, situés de part et d'autre de 8e; on pourrait les joindre par une ligne F située sur 5"'. Lorsque p', p''se confondront avec p, F deviendra un contour fermé C;,+i, lequel ne coupe pas G|, . . ., C^. Il devrait donc, d'après Thypollièse, partager ^ en deux régions distinctes, ce qui n'est pas, car on peut passer d'un bord à l'autre de la ligne C^+i en suivant la ligne ^8, puis la portion de Q comprise entre les points S et e, et enfin la ligne e^»

516. Cela posé, pour passer de la surface 5 à la surface simplement connexe 5"', il suffit d^y tracer les X -i- 2/> — i transversales successives

Donc Tordre de connexité de s est bien X -1- 2p.

Nous désignerons sous le nom de système canonique le système particulier de transversales (6) auquel nous venons d'arriver.

517. Nous dirons que deux lignes A, A', tracées entre deux points O et 2 de la surface 5, sont équivalentes si l'on peut passer de Tune à l'autre par une déformation continue (sans sortir de s).

La ligne A' est évidemment équivalente à la succession du contour fermé A'A~* et de la ligne A. Elle sera donc équivalente à A, si le contour A'A~* peut se réduire à un simple

point par une déformation continue, auquel cas nous dirons que ce contour est équivalent à zéro.

518. Théorème. — Tout contour fermé Y tracé sur une surface s à connexité simple, est équivalent à zéro.

En effet, coupons la surikce par une transversale f; elle la partage en deux régions distinctes, s^ et 53. Nous allons montrer que ce théorème est vrai pour 5, s'il l'est pour s^ et

pour ^2*

Nous pouvons admettre que F ne traverse t qu'ea un nombre fini de points, car nous pourrions au besoin substituer à r un contour polygonal infiniment voisin, et prendre aussi une transversale polygonale.

Soient a, p {fig^ 28) deux points d'intersection consécutifs de r avec t. Le contour F = ma/t^m équivaut évidem-

Fig. a8.

ment à //isc/ip.pa.a^.pm, et, comme la portion an^-^a^ entièrement située sur ^2, est équivalente à zéro, C équivaut à moL^m, Dans ce nouveau contour, le nombre des points d'intersection avec t est réduit de deux unités.

Par une suite de réductions de ce genre, on peut ramener le nombre des intersections à être < 2. Mais on ne peut passer de la région s^ à la région ^2, ou réciproquement (en restant sur s) sans traverser t. Le nombre des intersections doit donc être pair pour que le contour se ferme. Il sera donc nul, et le contour considéré, étant entièrement situé dans la région 5|, sera équivalent à zéro.

INTÉGRALES ABÉLIENNBS. 669

Nous pouvons subdiviser de même chacune des régions s^ , ^2 par une nouvelle transversale, et ainsi de suite, et ramener ainsi la démonstration du théorème au cas d'une réion infiniment petite, pour laquelle il devient évident.

or

d19. Théorème. — Tout contour fermé tracé sur une surface 5, de connexité N, à partir d^un de ses points O, équivaut à une combinaison de N — i contours déterminés Fj, . . ., rj^, décrits successivement, une ou plusieurs fois chacun, dans un sens ou dans Vautre.

Traçons, en effet, sur s une transversale ^, qui la transforme en une surface 5|, N — i fois connexe.

Soient 6', b" deux points situés en regard l'un de l'autre sur les deux bords de la coupure t. On pourra les joindre au point O par des lignes tracées sur S\, La réunion de ces deux figures constituera un contour F, = ObcO {fig- 29) tracé sur s et traversant t en un seul point 6'= 6"= 6.

Fig. ag.

Soit C = OûfeO un autre contour fermé partant de O. Supposons qu'il traverse la ligne ^ en m points. Soit d le premier de ces points d'intersection. Le contour G équivaut évidemment au suivant

Od,db,bO.Ob.bcO.Ocb.bd.deOy

570 SBGOlfDB PARTIE. — GHAPITRB YII.

lequel est la combinaison de trois contours successifs : le premier, OrféO, ne traverse pas t ; le second, OécO, n'est autre que rj;.et le troisième, OcbdeO = C'f ne traverse plus t qu'en m — 1 points, car il a cessé de la traverser au point d.

Nous avons supposé, dans la figure précédente, que la ligne C = OdeO franchissait la transversale de gauche à droite, comme la ligne Obc. Si elle la franchissait dans le sens contraire, comme dans lajfig, 3o, C serait équivalent à

OdbcOcbObdeO.

Ce nouveau contour se compose de trois contours partiels : le premier, OdbcO = Oj ne traverse plus i\ le second, Oc 60, n'est autre que r7* ; le dernier, ObdeO, ne coupe plus la transversale qu'en m — i points.

On verra de même que G équivaut à la succession de trois contours, le premier ne traversant plus t; le second étant Fi ou r7*, et le troisième ne traversant plus t qu'en m — 2 points.

Donc, en dernière analyse, C équivaudra à une combinaison des contours Fi etF[* avec d'autres contours, lesquels, ne traversant plus t, seront situés sur 54.

520. Coupons ^i par une seconde transversale t^ , qui la transforme en une surface s^ de connexité N — 2. On pourra

INTÉGRALB8 ABÉLIENNES. 671

de même tracer sur 5|, à partir du point O, un contour fermé r2, qui ne traverse t^ qu'en un seul point; et Ton montrera que tout contour tracé sur 5| équivaut à une combinaison des contours r2 et F'* avec des contours tracés sur $2»

On poursuivra cette réduction jusqu'à ce qu'on arrive à une surface simplement connexe Ss^r Les contours tracés sur celle-ci étant équivalents à zéro, on voit finalement que tout contour C tracé sur s se réduit à une combinaison des contours

Fi désignant un contour qui traverse en un seul point la transversale ^/, sans traverser les précédentes.