Soient (Jig- 3i
Fig. 3i.
A|, . . . , Axles contours fermés qui limitent s; R«=:G,D|C7*D7*, ..., R^ = G^D^C^*D;* les rétrosections
que l'on peut tracer sur cette surface; Yi le point d'intersection de Q et de D,- ; 0} un point arbitraire de s; JÇ^i une ligne joignant co à Ai*; DlLi une ligne le joignant à y/.
Nous avons vu (516) qu'on peut adopter comme système
canonique de transversales le suivant :
CT'Cï» -C»» •••' O» •••» OK^iCiDïLj^f D/,
Joignons le point O aux contours A|, A2, . . ., Ax par des lignes L< , . . . , Lx. De même joignons-le aux points yi > • • • 1 Y/> par des lignes Mj, . . ., M^, tracées de telle sorte qu'aux environs du point y/ la ligne M/ se trouve dans celui des quatre angles formés par C/ et D/ qui est opposé à celui qui contient dIL/.
Considérons le système des lacets
(7) L,A^L7^ ..., M/D,Mr», M^QM^S ....
L'un de ces lacets, le premier, par exemple, équivaut à une combinaison des autres. Mais ces derniers sont indépen* dants et pourront être pris pour F, , . . . , Fp,..,.
En effet, le contour L2AaL^* coupe une seule des transversales, à savoir 417* -Ca» ^^ ^^'^ ^^ ^^ ^^^^ point; si i> q, L,A/Ljr* coupe la seule transversale 4Li en un seul point, M,D|Mt* coupe la seule transversale OKiCiOR/^* en un seul point Y«; enfin MidMj^ ne coupe qu'une seule transversale D, au seul point y/.
S22. Cherchons à déterminer le nombre p des rétroseclions que l'on peut tracer sur la surface S de Riemann, considérée dans toute son étendue (ou plus généralement sur la surface S' obtenue en excluant de S les portions intérieures à des contours fermés infiniment petits A^ , . . . , A^ tracés autour de quelques-uns de ses points a^, . . .^ a^^, en nombre limité.
La surface S' s'étendant jusqu'à l'infini, il conviendra, pour lui appliquer les théorèmes précédents, d'en exclure les points à l'infini, en considérant seulement la portion s' de cette surface située dans l'intérieur d'un cylindre droit ayant pour base un cercle G de rayon infini tracé sur le plan des z.
L'infini étant un point ordinaire pour la courbe^*, chacune des n racines de l'équation f(z^ w)=o revient à sa valeur
INTÉGRALES ABÉLIENNBS. 5']3
ÎQÎlîale lorsque z décrit le cercle C. L'intersection de S' avec le cjlindre se compose donc de n circuits fermés distincts, Ajju|.i, . . ., A(4+„, qui constituent avec A|, . . ., A^x la frontière de s'.
Le nombre/? sera donné (^14) par la formule
N désignant l'ordre de connexité de s'.
Pour déterminer ce dernier nombre, nous remarquerons que la surface 5' a été obtenue en soudant ensemble, suivant les coupures primitives, L< , . . . , Lv les feuillets plans Pj , . . . , P„. Le long de chacune de ces lignes, telle que L/, nous avons fait deux soudures o-/ et aj-, dont la réunion constitue une transversale 0-7^ a'- ajant ses extrémités sur la frontière de 5'. En coupant s' suivant ces v transversales, de manière à détruire les liaisons établies, nous serons revenu au sj'Stème primitif de n feuillets. Joignons encore par une transversale chacun des contours Aj, ..., A^ au circuit qui limite le feuillet plan sur lequel il est situé. Chaque feuillet deviendra simplement connexe.
La surface ^ étant ainsi décomposée par v -+- [x transversales en n régions simplement connexes, on aura, d'après la
formule (5),
v-H(x — /iz=N — 9.
et par suite
n -\- 2p zr^ V — /i H- 2 ,
Le nombre p ainsi obtenu n'est autre chose que le genre de la courbe/ (t. I, 586).
IL — Intégrales abéliennes. Périodicité.
S23. Aux environs d'un point a={zoy Wo) de la surface de Riemann, z et 11 peuvent être développés (509) suivant les puissances entières et croissantes d'un paramètre t (égal
à 5 — Zo dans le cas général, à y/« — Zo aux points où la tangente est parallèle avec u, k - pour les points à rinfîni).
Soit F une fonction analytique de Z'^ nous dirons que le point a est ordinaire pour celle fonction, si aux environs de ce point, elle est développable en une série de puissances entières et positives de t.
Ce sera un pôle, si le développement, procédant toujours suivant les puissances entières et croissantes, commence par des puissances négatives.
Ce sera un point critique logarithmique, si le développement contient en outre un terme de la forme C\ogt,
Nous dirons encore que la fonction F est monodrome dans une portion s de la surface de Riemann, si, lorsque la variable z varie arbitrairement sans sortir de 5, F reprend toujours la même valeur lorsque z revient au même point ; qu'elle est synectique, si elle est monodrome et sans point critique.
Enfin, si F est monodrome sur toute la surface S, nous dirons qu'elle est uniforme sur cette surface.
524. Théorème. — Soient s une région de la surface de Riemann, finie et à connexion simple; F = P -i- Qe une fonction qui n^ acquière pas de point critique, lorsque z se meut arbitrairement sur 5.
1° Les fonctions F et Ç¥ dz seront synectiques dans la région s.
2" L'intégrale CF dz prise suivant le contour qui limite s sera nulle,
3** L intégrale JV dÇ^j prise suivant ce même contour {supposé décrit dans un sens tel qu^ on ait la région s à sa gauche), a une valeur positive {à moins que F ne se réduise à une constante j auquel cas elle s^ annule éi^idemment).
Coupons s par une transversale arbitraire ; elle la décomposera en deux régions 5< , 52- Et le théorème sera vrai pour 5. s'il Test pour 5| et ^3, car les intégrales TF dz^ fP rfQ prises
e'ir
INTÉGRALES ÀBÉLIBNNBS. 5^0
sur le contour de s, sont évidemment égales à la somme des intégrales analogues prises sur le contour de s^ et sur celui de S2'
Subdivisons s^ , $2 par de nouvelles transversales ; la démonstration sera ramenée au cas d'un élément de surface infini* ment petit <t. Or, dans un semblable élément, F est représenté par une série de puissances
F = Co -H Cl / -h c, z* -h
On aura, d'autre part, suivant que la tangente au point (zq, Uq) qui correspond à ^ = o est parallèle ou non à Taxe des Uj
Z^=ZQ-\-t^ ou Z^iZQ-ht,
d'où
dz = 2tdt ou dz =: dl.
Donc F et J F dz sont des fonctions sjnectiques dans cet élément.
La première partie du théorème est donc établie ; et la seconde en est une conséquence immédiate.
525. Pour établir la troisième, nous remarquerons que, lorsque z décrit cr de manière à laisser son intérieur à gauche, t décrit autour de l'origine des coordonnées, dans le sens direct, un contour fermé infiniment petit t, qui ne se traverse pas lui-même. Un semblable contour est la limite d'un contour polygonal de même sorte. Celui-ci peut lui-même être considéré comme la limite d'un contour fermé de même nature, ayant en chaque point une tangente dont la direction varie d'une manière continue, et ne coupant une parallèle aux axes qu'en un nombre fini de points.
Tout revient donc à démontrer la proposition pour un contour t de cette dernière sorte.
Soit
t:=:x -h iy\
nous aurons (t. I, n® 189)
dP dQ dP dQ
dvT ây dy dx
Ces équ&lions montrent que, si Q est une constaole, il er sera de même de P, et par suite de F. Dans le cas contraire, rintégrale double
prise dans i^intérieur de t, a une valeur positive. Mais cett« intégrale peut se mettre sous la forme
J J \ dx dy dy dx) ou, d'après le n** 133, sous la forme
^cos N Y rf* + p ^ cos NX ds dx dy
NX et NY désignant les angles de la normale extérieure ân contour avec les axes des x et des j^.
Mais, si dx et dy représentent les accroissements de x ei de y lorsque / passe du point s au point s -\- ds^ en décrivant T dans le sens direct, on aura
dx=^ ' cosNY dsy dy =z cos NX ds.
L'intégrale précédente devient donc
Celte dernière intégrale est donc positive, comme nou^ voulions l'établir.
526. Soit F = P-f- Q« une fonction qui n'admette 5urî;i surface de Riemann qu^m nombre flni de points crilique- «,, . . ., «(!.. Prenons arbitrairement un point O sur ceU' surface et joignons-le par des lacets : 1** aux/> rétroseclioos; 2'* aux points ai, . . ., aji) 3** aux n circuits à Tinfini. Coupons S suivant ces lacets; le contour ainsi formé délimiter:
If(TfiGRÀLES ÀBÉLIENNES. 677
une surface finie 5', à connexion simple, sur laquelle F n'a pas de point critique.
Si donc nous désignons par K Tensemble des lacets des réirosections, par JUf , X2, • • • les autres lacets, nous aurons
(1) f^^^'^^jf Fû?5=i:0,
et si F ne se réduit pas à une constante,
(2) fpdQ-[-\ f PdQ>o.
527. Si la fonction F n'a pas de point critique (même à rinfini) sur la surface de Riemann, l'inégalité (2) se réduira à
(3) fpdQ>o.
En effet, on n'a, dans ce cas, d'autres lacets &l» que ceux qui sont relatifs aux circuits. Or ceux-ci ne donnent que des intégrales infiniment petites.
Soit, en effet, Xff= L^^AaLjJ"* celui qui est relatif au circuit Â^. Les intégrales suivant La et Ljj"* se détruisent. Pour évaluer l'intégrale suivant Aa, posons
" 7 p(cos<p-h t sincp)'
et prenons cp pour variable indépendante; l'intégrale de- \ iendra
do 0 »
Mais, sur le circuit Aa, F admet par hypothèse un développement de la forme
F = Co -h Cl ^ -H c, ^- -h . . . .
On aura donc, en désignant par 77 le module et par a/ J. — II. 37
578 SECONDE PAETIE. — GHAPITEE HI.
rargument de c/,
P = rQ cosao-4- Tjp cos(«p -4- aj) Q=z Tosinao-t- r,p sin(o + «j)
Si p tend vers zéro, P tendra donc vers une limite finie, et -^y qui contient p en facteur, tendra vers zéro. L'intégrale est donc infiniment petite.
528. Théokeme. — Une /onctionF, synectique sur toute la surface de Riemann, se réduit à une constante.
La fonction F, n'ayant pas de point critique, il faudrait, pour qu'elle ne fût pas constante, que l'intégrale
rprfQ= f
fût positive. Mais elle est évidemment nulle. Soit, en efiet {fig. Sa),
Fig. 3a.
Ml
Tun des lacets dont K est composé. Les intégrales suivant
INTÉ6EALES ABÉLIEimES. 579
Ma et M]^* , ayant leurs éléments égaux et contraires, se détruiront. De même pour les intégrales / et / , / et / .
^Ck *^cr* •^D* "^^r*
529. Discutons d'une manière analogue Pégalité (i). L'un quelconque des lacets Xk est de la forme
Aa désignant, soit un contour infiniment petit décrit dans le sens rétrograde autour de l'un des points ai, • . ., a^^ soit un circuit, décrit dans le sens direct, et isolant l'un des n points a^jL^f , . . ., a^^n situés à l'infini sur la surface de Riemann.
Nous avons vu que, aux environs du point ak= (z^, Uk)j z et u sont exprimables au moyen d'un paramètre t (égal,
suivant le cas, k z — z^f ou kJz — 5^, ou enfin à - si aA est
à l'infini). Lorsque z décrit Aa, t décrira, dans le sens rétrograde, un contour infiniment petit, ta» autour du point ^ = o. On aura donc
f¥dz= fv^dt.
dz Si, aux environs de ^ = o, F -7- est développable suivant
les puissances entières et positives de t^ cette intégrale sera nulle.
dz Si F-^ admet un développement suivant les puissances
entières et croissantes de ^, mais commençant par des termes à exposants négatifs
l'intégrale sera égale à — iiziçLjç^,
Dans l'un et l'autre cas, F reprenant sa valeur initiale
58o SECONDE PAETIE. — GBAPITEB Vil.
lorsque z décrit le contour Aa, les deux intégrales f ¥ dz et / F dz se détruiront.
Nous obtenons donc le résultat suivant : On a
1(1 sommation s^appliquant seulement aux lacets ^k décrits autour des points {à distance finie ou à l'infini)
qui sont critiques pour l'expression F;it*
Si l'un de ces points an est un pôle pour F -^i soii a*,
/e résidu correspondant. L'intégrale sui\^ant le lacet relatif à ce point sera — 2 ic/a^i .
530. Cherchons Texpression générale des fonctions F uniformes sur la surface de Riemann et n'ajant pour poinis critiques que des pôles.
Une semblable fonction F, étant développable aux environs de chaque point (:;o; '^0) suivant les puissances entières
et croissantes d'une variable t égale k z — ^q, ou à \/ z — z^^
ou à -9 n'aura que des points critiques algébriques par rap-
port à la variable z.
A chaque valeur de z correspondent n points ai, . . . , ^/j, <Ie la surface de Riemann, et à chacun d'eux a/ des valeurs déterminées F/, ui des fonctions F et u. La somme
où m est un entier quelconque, sera une fonction uniforme <le z. N'ayant que des points critiques algébriques, elle sera rationnelle en z.
Posons m = o, i, . . . , n — 1, et des équations ainsi ob-
INTEGRALES ABfiLIENlfES. 58 1
tenues, tirons la valeur de F|. Nous obtiendrons un résultat de la forme
Le déterminant D est le produit des dilTérences ut — Uky et ses mineurs Af, . . ., A^ sont divisibles par celles de ces différences où u^ ne figure pas. On aura donc, après suppression de ces facteurs communs,
Le dénominateur est égal, à un facteur constant près, à la valeur de -~ pour m = W|. D'autre part, les B, étant des fonctions symétriques entières des racines de l'équation •^ — = O) sont des polynômes entiers en ^ et £^i; et s'ils
contenaient des puissances de u^ supérieures à n — i , on pourrait les éliminer au moyen de l'équation f{z^ u^) = o. On aura donc, en remplaçant u^ par u dans l'identité précédente, une expression de la forme
du
C|, . . ., C/2 étant des polynômes entiers en Zj e/, de degré n — I au plus par rapport à m, ou enfin, en désignant par A le dénominateur commun des fonctions ^i, . • . , ^„y
du
Eo9 • • • , E/i^i , A étant des polynômes en z.
Cette expression est une fraction rationnelle en .s, w. Réciproquement, toute fraction F rationnelle en z, w, étant évidemment de l'espèce considérée, pourra se mettre sous la forme précédente.
58a SECONDE PARTIE. — CHAPITRE YII.
531. On donne le nom d* intégrales abéliennes aux inlé~ grales de la forme
où F désigne une fonction rationnelle en 2, u. On achèvera de préciser cette intégrale en fixant sa valeur initiale en un point O, choisi à volonté sur la surface de Riemann, pour servir d^origine à la variation de z.
Cherchons le système des valeurs diverses que peut prendre cette fonction en un point a de la surface, lorsqu^on fait varier le trajet suivi par z pour passer de O à a.
Nous avons vu que tous les chemins possibles se ramènent à Tun d'entre eux, précédé d'une combinaison :
i*» De lacets MaGaM;^*, MAD)tM)f* joignant le point O aux deux contours Ga, Da qui forment chaque ré trosection:
1^ De lacets JIoa= L;t AaL^' joignant ce même point aux pôles de F et aux n circuits à l'infini.
Les diverses valeurs de l'intégrale au point a dIfi(éreFont donc les unes des autres d'une somme de multiples entiers positifs ou négatifs des intégrales prises suivant ces lacets, ou plus simplement, suivant les contours Ca, Da, Aa, car les intégrales suivant les lignes Ma, Mj^* et La, L)^*, se détruisent évidemment.
Ces intégrales se nomment les périodes de L Nous appellerons premières périodes cycliques les p intégrales / :
*^Cfc
deuxièmes périodes cycliques les p intégrales 1 ; nous les désignerons respectivement par ca, dk-
Nous appellerons en^n périodes polaires les intégrales 1 .
Nous avons appris à déterminer ces dernières (529), et nous
avons vu que / s'annule, si le point aA, autour duquel est
ri"
décrit le contour Aa, est un point ordinaire pour F -r^- Dans
INTÉ6EALE8 ABÈLIBNNBS. 583
le cas contraire, ce sera évidemment un pôle, et Ton aura
J' = 2 TC l
*Al:
a^i désignant le résidu correspondant.
