partie imaginaire de la fonction — > qui est rationnelle en z

//, et, par suite, reste uniforme sur la surface de Riemann ; mais P a changé de valeur; car, entre les lignes CAet C^^', on a décrit le contour Da, ce qui a accru I de df^^ et sa partie réelle P de 3a. La somme des deux éléments d'intégrale considérés sera donc

Pc^Q — (P 4- 8a) û^Q = — 8a^Q.

On aura donc

Considérons de même deux éléments correspondants sur Da et Djf;*; comme P augmente de — y* lorsque z décrit le contour intermédiaire C^\ la somme de ces éléments sera

et l'on aura

INTÉGBÀLBS ABtUBNNBS. 585

Enfin les éléments correspondants des intégrales, suivant M et M""*, se détruisent; car, lorsque z décrit le contour CaDaQ^D;;;*, P augmente de yA-i- 8^ — y* — 8^= o-, il reprend donc sa valeur primitive.

L'intégrale cherchée aura donc pour valeur

Soit, comme précédemment, K le contour formé par l'ensemble des lacets des rétrosections; on aura

(6) yPrfQ=^'(Y*8;-S*Y'*).

536. Soient I, F deux intégrales abéliennes ayant respectivement les périodes cycliques C|, rf|, ...,C|,, dp et c\^ d\^ • • •, cly d' et les points critiques a^, a^^ • • m ^^ ^i? a!,, .... Nous admettrons pour plus de simplicité qu'elles n'aient pas de point critique commun.

Joignons un point arbitraire O par des lacets aux rétrosections et aux points critiques a\ , a^y ... et a, , a^, • . . . Nous aurons soin de tracer ces lacets de telle sorte qu'en tournant autour de l'origine O, on rencontre d'abord les lacets des rétrosections, puis les lacets X\^ ^^^ ..., des points ao a2, . • • et enfin les lacets ^\ , e,l>^, ... des points a\^a\^ ....

L'ensemble de ces lacets délimite une surface s simplement connexe et sur laquelle ni -7-9 ni F, ni par suite l'intégrale 1 V d\ n'ont de point critique.

On aura donc

Un calcul identique à celui du numéro précédent nous donnera pour la première intégrale la valeur suivante

yi'<fl=V(c;rf»-rfic*).

586 SECONDS PARTIE. — CHAPITRE Vif.