Les points a^y a^^ . . . sont des pôles pour l'-i
effet, aux environs d'un de ces points, aj^, -t- admet un développement de la forme
D'autre part, ce point étant ordinaire pour I', la série de Taylor donnera aux environs de ce point
On aura donc
pA désignant le résidu
et, par suite,
^J re^=-27ri^p,-
538. Calculons enfin le dernier terme de l'équation (; L'intégration par parties donne
fvdl — lV'- fldV.
Or, lorsqu'on parcourt la suite des lacets JUj^, 1 ne chanso pas et V s'accroît de la somme de ses périodes polaires; mai? celle-ci est nulle. Donc II' reprend sa valeur initiale, el Ton a simplement *
Mais, pour l'expression I-t-j les points a\y a^, . . . sont des
INTÉGRALES ABÉLlENlfES. 587
pôles, dont les résidus se calculeront comme les précédents, et seront de la forme
(9) Pit= «il (I)ai 4- a;.,^^j^ -+-....
Nous obtiendrons donc finalement la relation fondamentale suivante
les résidus p^ ou p^ relatifs à chaque point critique étant calculés comme ci-dessus.
539. Appliquons cette formule au cas où 1'= logF» F désignant une fraction rationnelle en Zj u»
Les périodes cj^, rfj^ de cette fonction étant des multiples de 2Tt, le premier membre de la formule (lo) se réduira à une fonction linéaire homogène, à coefficients entiers, des périodes cycliques de 1.
D^autre part, les points critiques de logF sont les zéros et les pôles de F, et la partie infinie du développement de
— j^^— sera — [J»-^"*, pour un pôle b de multiplicité [x; [x'^"',
pour un zéro b' de multiplicité [x'.
On aura, par suite,
^Pi=^^'(i),-^,(i)*.
ou si Ton considère un zéro de multiplicité [x' (ou un pôle de multiplicité [x) comme résultant de la coïncidence de ix' zéros simples (de [x pôles simples)
les sommes du second membre s'étendant respectivement à tous les zéros simples, et à tous les pôles simples de F.
Si donc nous convenons de considérer comme équivalentes deux quantités qui ne diffèrent que par des fonctions
588 SECONDE PARTIE. — CHAPITaE YII.
linéaires homogènes, à coefficients enliers, des périodes de I, l'équation (lo) nous donnera Téquivalence
pk désignant l'expression
P*=«Ai(logF)«j-ha*J— ^^) 4-....
540. Supposons que la fonction I se réduise à une constante C. Elle n'aura pas de point critique, et toutes ses périodes s'annuleront. La relation (i i) se réduira donc à
C(N'-N) = o, d'où N=:N',
N désignant le nombre des pôles b de F, N' le nombre de ses zéros b'.
Soit d'ailleurs X une constante arbitraire. La fonction F — a ajant les mêmes pôles que F, en nombre N, aura N zéros. Nous obtenons donc ce résultat :
Le nombre des points pour lesquels une /onction rationnelle F de Zy u prend une valeur déterminée X est indépendant de X et égal au nombre des pôles de F.
541. On déduit aisément de ce qui précède la démonstration d'une proposition célèbre, connue sous le nom de théorème d'AbeL
Soit ^ un polynôme entier de degré m-^ les deux courbes /et ^ se couperont en mn points.
Supposons que les coefficients de ^ varient simultanément, d'une manière continue et suivant une loi quelconque. Les points d'intersection se déplaceront et décriront sur la surface de Riemann des lignes continues L4, L2, ....
Soient (po 6t ^ la forme initiale et la forme finale du polynôme variable; les lignes L4, L^, • • • auront pour origine les points d'intersection &i, 62, ... de /et de tj^o et se termineront aux points d'intersection b\y b'^, ... de / et de ^.
INTÉGBALES ABÊLIBNNES. 689
Soit I une intégrale abélienne, dont les points critiques Oi , a2, ... ne soient pas situés sur les lignes Lj, L2, .... Les mn intégrales
auront des valeurs finies et déterminées. Le théorème d'Abel a pour objet de déterminer la somme de ces intégrales. On a évidemment
D^autre part, la fonction rationnelle
a pour pôles les points 6|, 62? • • • 6t pour zéros les points b\, 6^, .... En lui appliquant la formule (it), il viendra
