Mais il est aisé de voir que les deux membres de

cette formule sont non seulement équivalents, mais égaux.

En effet, ils le sont à l'origine du mouvement, où ij; = ^o-

Car le premier membre s'annule. D'autre part, y- étant égal

à I , son logarithme se réduit à un multiple de 2Tzij et les dérivées de ce logarithme par rapport à t s'annulent. Le second membre se réduit donc à un multiple de la somme des périodes polaires — 27rfa;ti, laquelle est nulle (532).

Si d'ailleurs on fait varier le poljnôme ^ d'une manière continue, à partir de sa forme initiale 4^0; '^^ deux membres varieront d'une manière continue; car les points a/t n'étant

SgO SECONDE PAftTIB. -— CHAPITRE YII.

pas situés, par hypothèse, sur les lignes L|, L2, ••-, ne seront à aucun instant des points critiques pour log-^-

Le module de la différence des deux membres ne peut donc varier que d^une manière continue. Si donc il cessait d'être nul et devenait, à un certain moment, égala 8, il prendrait nécessairement dans l'intervalle toutes les valeurs comprises entre o et 8.

Mais, les deux membres étant équivalents, leur différence est représentée à chaque instant par une expression de la forme mi ci}< -}-... -h m^w^, en désignant par tOi, ..., w^ les périodes de I. Il faudrait donc que tout nombre compris entre o et S fit partie de la suite des nombres

(12) I/niWi-+-.. -hmq(aq\.

Or il est aisé de voir que cela est impossible. Ordonnons, en effet, les nombres (12) de la manière suivante.

Nous mettrons en tête, en les disposant dans un ordre arbitraire, ceux d'entre eux (en nombre limité), pour lesquels I //Il I -t-...4- ] //iç I = I ; puis, dans un ordre arbitraire, ceux en nombre limité, où cette somme est égale à a, et ainsi de suite. Tous ces nombres sont ainsi disposés en une série, où chacun d'eux figure à un rang déterminé.

Soit 8| le premier terme de la série dont la valeur tombe entre o et 8. Si la série contient des termes dont la valeur soit comprise entre 3 et 8^ ils ne viendront qu'après celuilà. Soit*82 le premier d'entre eux. Si la série contient des termes dont la valeur soit comprise entre 8| et 82, ils ne viendront qu'après 82. Continuant ainsi, nous formerons deux suites de termes, les uns croissants