IJ

les autres décroissants

mais plus grands que les précédents. D'ailleurs, chacun de ces termes 8,1 étant plus éloigné dans la série que 8/,i, le

INTÉGRALES ABÉLIENNBS. SqI

rangquHl occupe et, a fortiori, le rang occupé par les autres termes compris comme lui entre 8/1.3 et 8;2-i) ^6 saurait être moindre que n.

Cela posé, si les deux suites précédentes s'arrêtent à un dernier terme S,}, la série ne contiendra aucun des nombres compris entre 8/,i et 8„, et notre proposition sera établie. Si, au contraire, les deux suites contiennent un nombre de termes illimité, les nombres 84, 83, ... tendront vers une limite A, et les nombres 82, 84, ... vers une limite A' égale ou supérieure à A. Le nombre A ne peut figurer dans la série ; car il y devrait occuper un rang déterminé m\ mais, A étant compris, quel que soit /i, dans l'intervalle de Zn-% à ^n^\ ^ ce rang serait au moins égal à n, quel que fût ce dernier nombre ; ce qui est absurde.

543. Nous aurons donc, comme expression du théorème d'Abel, la formule

*"' SX.'"=S['"'('°^^)..*'"(5"'4.)..-^-]-

Les expressions | v-) > ( i-lofiTr-l > ••• sont évidemment

rationnelles par rapport aux coefficients de if et de tj^o*

Le second membre de la formule précédente se compose donc d'une partie logarithmique et d'une partie rationnelle par rapport à ces coefficients.