Deux cas particuliers doivent être signalés ici

On dit que l'intégrale l est de première espèce, si elle n'a aucun point critique. Dans ce cas, le second membre disparaît, et l'on a simplement

L'intégrale I sera de seconde espèce, si, tout en admettant des points critiques, elle n'a pas de périodes polaires. Dans

59^ SECONDE PARTIE. — CHAPITftB ?II.

ce cas, les résidus a^i seront tous ouïs, et le second membre se réduit à sa partie rationnelle.

Enfin rintégrale sera de troisième espèce, si elle a des périodes polaires.

545. Remarque, — Il peut arriver que if varie de telle sorte que quelques-uns de ses points d'intersection avec / restent fixes. Leurs trajectoires L;^ se réduisant à de simples points, les intégrales correspondantes disparaîtront du premier membre des équations (i3) ou (i4)) <iui ^^ contiendront plus que les intégrales relatives aux points d'intersections variables.

546. Soient P4=:(5|, w,), ..., Pj4=(2j4, u^^) des points variables, décrivant simultanément sur la surface de Riemann des lignes arbitraires L|, ..., L^j^ (ne passant pas par les points critiques de l'intégrale I). Nous pourrons déterminer une courbe ©, adjointe à /et d'un degré assez élevé pour que son équation contienne plus de [x coefficients arbitraires. On pourra donc déterminer ces coefficients, en tout ou en partie, par la condition que cp passe par les points ^i, . . ., ^^^ et, s'il reste encore des arbitraires, on achèvera de déterminer «p en la faisant passer par des points fixes yi , y^, . . . , choisis à volonté sur /. Les coefficients de l'adjointe ainsi formés sont rationnels et symétriques en 2|, t^i, . . . , z^^ u^. Elle coupera/: i"* en certains points fixes simples ou multiples; 2** aux points variables {z^^ W|), . . ., {z^^ u^^) ; 3** en p autres points variables (;;',, w',), . . . , (s' , «' ).

Les coordonnées de ces derniers points sont des fonctions algébriques Aq z^^u^^ ...« ^^t, u^. Pour les obtenir, éliminons u entre les deux équations

^{Zy U) = Oy f{Z, U)—0.

Soit Z = o l'équation finale. On connaît d'avance celles de ses racines qui correspondent aux points fixes, et les racines Zi, . . ., ^^. Supprimant ces solutions par la division, il res-

INTÉGRALES ABÉLIBNMBS. SgS

Lera une équation Z' = o, de degré/?, pour déterminer 3 ^ — z'p. Soit z'i, l'une de ses racines; la valeur correspondante u\ s'obtiendra en cherchant la solution commune aux deux équations

Elle sera unique (si Z'= o n'a pas de racine multiple) et s'exprimera rationnellement au moyen de 2)^ et de ^i , Ui ,

'piî '^jf

Lorsque les points (3|, «i), ..., (5^1, u^) décriront les trajectoires L|, . . ., Lpi, les p points {z\^ u\)^ . . ., («3'^, w' ) décriront des trajectoires correspondantes L',, ..., L' ; les autres points d'intersection restant fixes, on aura, par le théorème d'Abel,

rX'""S'X'"="'

M étant une fonction rationnelle et logarithmique des coefficients de cp et de cpo? et par suite des quantités ^1, e/i, . . ., ^[ji7 u^ et de leurs valeurs initiales ^iq, ^iq, • . •, z^^y u^q. Nous obtenons donc cette nouvelle proposition :

La somme dhm nombre quelconque d^ intégrales abéliennes semblables est toujours réductible à une somme de p intégrales analogues, prise négativement^ plus un terme complémentaire, algébrique et logarithmique,