III. — Réduction des intégrales abéliennes

547. Une intégrale abélienne î=:jFdz est détermi^ née à une constante près, lorsque l'on connaît : i® ses p premières périodes cycliques C|, . . ., c^^ a® la position de ses points critiques «i, a^, ..., et aux environs de chacun de ces points, tel que a^, la partie infinie de son

développement (ou, ce qui revient au même, la partie in- J. — 11. 38

594 SECONDE PART». — CHAPITRE Yll.

finie aA,|ij^~*^'+. . .H- a^n^"* du développement de sa dérivée F

Soient, en effet, I, F deux intégrales pour lesquelles ces divers éléments soient les mêmes. La différence I — F sera une intégrale abélienne sans point critique, et dont les premières périodes cycliques sont toutes nulles.

Or, nous avons vu (527) qu'une intégrale abélienne J = P + Qt sans points critiques, et dont les périodes cycliques sont

se réduit à une constante si l'intégrale / PrfQ n'est pas positive; d'autre part, cette intégrale est égale (535) à

hk^ — hYk)'

Or, pour l'intégrale I — F, les quantités y^? y^ sont nulles. Donc / P rfQ sera nulle, et I — F est une constante.

548. Supposons les éléments cî-dessus donnés a priori, et proposons-nous de déterminer l'intégrale abélienne correspondante. Elle ne pourra exister que si la somme des résidus a;ti <^st nulle. Nous allons voir que cette condition <est suffisante.

Soit A une courbe de degré m telle que, parmi ses points d'intersection avec/*, il y en ait au moins [jL| confondus en ^1, |JL2 confondus en aj, etc. On pourra toujours satisfaire à ces conditions en prenant m suffisamment élevé.

Nous allons établir que l'intégrale cherchée existe, et qu'elle est de la forme

./ au

INTÉGRALBS ABÉLIBNNES. 5g5

O désignant une adjointe convenablement choisie parmi celles de degré m-\- n — 3.

549. Cherchons, à cet effet, quels sont les points de la surface de Biemann auiL environs desquels l'expression

^ dz dt

devient infinie.

Aux environs d'un point (!^, u), situé à distance finie, dz

—^ sera fini. Cela est évident, si -—- n'est pas nul au point

considéré.

Si -^ = o, mais -J-^o.ï\ en sera de même, car de l'équaau ^ az^ ^ ' ^

lion /= o on déduit

dz du

di dt

à/- dr

du dz

et le second membre reste fini.

Enfin, si -—- = -^ = o, le point (Ç, u) sera multiple. Soit v

son ordre de multiplicité. A une valeur 5 = Ç + ^ voisine de Ç correspondent n valeurs w,, . . ., Un) celles de ces branches qui se croisent au point multiple auront des développements de la forme

«j = u -h Cl ^ -h . . . , . . . , «v = '-> H- Cv ^ 4- • • • >

les coefficients angulaires Cf , . . . , Cy de leurs tangentes étant différents; les autres développements seront de la forme

\>k différant de u.

Si donc on prend sur Tune des branches qui passenl ai point multiple, sur la première, par exemple, un point (:;, ;/,

/if

voisin de (s, u), l'expression —- qui est égale à un facteur constant près au produit

sera d'ordre v — i .

Mais, d'autre part, ^ ayant au point (Çj u) un point mu'tiple de multiplicité v — i, son ordre ^era au moins égal - V — I. Le quotient restera fini.

Considérons enfin un point situé à Fin fini. A une valeur

infinie de c = -■ correspondent n développements

et le produit

sera d'ordre — (n — i). D'autre part, ~ est d'ordre — ^

Enfin ^, polynôme d'ordre n-\-m — 3, est d'un ordre ? moins égal à — (Ai + /n — 3). Donc

dz dt

restera fini au point considéré.

Quant à A, son ordre en un point (Ç, u) à distance finie sera égal au nombre X des intersections de A et de /" qui s^^^» concentrées en ce point [X étant nul, si (Ç, y) n'est pas un point d'intersection]. Pour un point à l'infini, cet ordre mrait — m -f- X.

Donc l'expression

dt du

INTÉGRALES ABÉLIBNNBS. 697

ne devient infinie qù!aux points d^ intersection de f et <i<? A ; et si l'un de ces points bi compte pour X/ intersections, elle deviendra infinie d'ordre X/ (au plus). La partie infinie de son développement

s'obtiendra aisément par la division.

550. Si nous prenons pour <E> l'adjointe la plus générale de son degré, elle aura pour coefficients des fonctions linéaires et homogènes de mn -\- p — i paramètres indéterminés (t. I, 589). (Nous supposons ici /n >> o; s'il était nul, le nombre des paramètres serait j9.)

Le nombre total des coefficients B est égal au nombre mn des intersections de A et de /. Ces coefficients sont évidemment des fonctions linéaires et homogènes des paramètres. La somme des résidus étant nécessairement nulle, on aura la relation

qui permettra d'exprimer l'une de ces fonctions telle que B,i au moyen des autres.

Désignons ces dernières par B^/.

Les p premières périodes cycliques Ti, . . ., F^ de l'intégrale considérée sont évidemment aussi des fonctions linéaires et homogènes des paramètres.

Le déterminant des mn — i -{-p fonctions Ba/, T, , . . ., T^ n'est pas nul ; car, s'il l'était, on pourrait déterminer les rapports des paramètres de manière à les annuler simultanément. L'intégrale abélienne ainsi obtenue n'aurait plus de pôles, et ses premières périodes cycliques seraient nulles ; mais elle ne peut se réduire à une constante, car sa différentielle n'est pas identiquement nulle; il y a donc contradiction.

Le déterminant n'étant pas nul, on pourra choisir les paramètres de manière à donner aux fonctions linéaires Ba/, r,, ..., Vp un système de valeurs arbitraires.

On pourra donc faire en sorte :

1° Que Fi, ..., Tp prennent les valeurs assignées C|, ..., Cp] 2® que le polynôme (i) s^annuie pour tout point 6/ qui ne fait pas partie de la suite des points a^ ^2» • • m ^^ ^ r^~ duise, si bi= a^^ au polynôme donné

Les coefficients B| 1 et au du terme en t~* dans les développements relatifs au point b^ = a^ échapperont seuls à Tidentification directe ; mais, comme on a, d'une part,

^Ba=o,

et, d'autre part, par hypothèse,

ces deux coefficients seront encore égaux.

5S1. Intégrales de première espèce. — Si l'intégrale I n'a pas de point critique, on pourra supposer m = o; A se réduit alors à une constante. La forme générale des intégrales de première espèce sera donc

<p désignant une adjointe d'ordre n — 3.

Nous pouiTons déterminer une intégrale de première espèce