IL

du

telle que toutes ses premières périodes cycliques cjn, ..., Ckp soient nulles, sauf Tune d'elles Ckk^ laquelle sera égale à l'unité. Nous désignerons ses secondes périodes cycliques par dk\^ ..., dkp-

INTÉGRALES ABÉLIBNTIBS. 699

Nous obtiendrons ainsi p intégrales particulières E|, . . ., E^, que nous appellerons intégrales normales de première espèce.

La formule (lo) du n° 538, appliquée à deux intégrales normales E/, Ej^ donnera évidemment

(2) o—\{Ciidki—'diiCki) —dki—dik.

552. Une intégrale abélienne I, ayant pour premières périodes cycliques C|, .. ., c^, peut évidemment se mettre sous

la forme

I = c, E, 4- . . . 4- CpEp4- r,

r étant unç intégrale réduite, dont les premières périodes cycliques sont nulles.

Dans l'étude des intégrales de seconde et de troisième espèce, nous pourrons donc nous borner à la considération des intégrales réduites.

553. Intégrales de seconde espèce, — Nous pouvons construire une intégrale réduite FJ; n'ayant qu'un seul pôle a, aux. environs duquel la partie infinie de son développement

d?^ se réduise à t'V- (celle du développement de —-7^ se réduira à

— |JL^-|*-*).

Soient rf^,, . . ., d^^ ses secondes périodes cycliques. Leur valeur s'obtiendra en appliquant la formule (10) du n^ 538 aux deux intégrales E;^ et F^; il viendra

^^ 2ir/^*~ fx! V dt\»' Ja^{\^ — i)l{ dt\»"' df dt ]'

)a (l^-OM^

du / 1

Celte expression est une fonction algébrique des coordonnées 2^, u du point a. Si ce point n'est pas à l'infini, et si

■^ n'y est pas nul, on aura t = z — Ç, et le second membre

6oO SECONDE PARTIE. — CHAPITRE Vil.

se réduira à

(fi-i)i ^;»*-» ( à/(i,^^)

Le ihéorème d'Abel, appliqué à F^, donnera, d'aulre part,

334. Une intégrale réduite de seconde espèce I (et, en particulier, une fraction rationnelle en 5, m), admettant le> pôles a,, «2, ..., et ayant pour partie infinie de son développement, aux environs de a,-, un polj^nôme

pourra se mettre sous la forme

I = ^^ («/.«. F^/H- ... -h oc/i FJ.) -f- C,

C désignant une constante.

En effet) la quantité C définie par cette équation est une intégrale abélienne qui n'a ni pôles, ni premières périodes cycliques. C'est donc uue constante.

Réciproquement, une expression I de la forme (5), où les quantités a et C sont des constantes indéterminées, est une intégrale réduite de seconde espèce, n'ayant de pôles qu'aux points ai, 02, . . . avec des ordres de multiplicité au plus égaux à /7Z|, m2f .*. (ces ordres de multiplicité pouvant s^abaisser si quelques-uns des coefficients a sont nuls).

555. Pour que cette expression I se réduise à une fraction rationnelle, il faut et il suffit que ses secondes périodes cycliques

S3ient toutes nulles; car ce sera alors une fonction uniforme, n'ayant pour points critiques que des pôles.

INTÉGRALES AB&LIBNNBS. 6oi

Ces poljnômes 8j^, au nombre de /?, contiennent les indéterminées a, en nombre \ mi^=q. Ils peuvent être liés par

des relations linéaires; soit o- le nombre de ces relations. Nous aurons à satisfaire k p — ? équations distinctes.

Si p — T^gr, on ne pourra y satisfaire qu'en supposant les a tous nuls, et I se réduira à la constante arbitraire C.

Si p — 3-<^^, ces équations détermineront p — o- des quantités a en fonction des autres et I contiendra encore, sous forme linéaire, q — /? -f- o* -f- 1 indéterminées (y compris la constante C).

Pour trouver la signiflcation du nombre o", nous remarquerons qu'une relation linéaire

entre les polynômes Oa, équivaut au système des relations \ ^*^i* = o, ...» \ X;teÇJ( = o,

Remplaçons les périodes d par leurs valeurs (3), et posons

Ces relations deviennent

o dz\ / d"^ir^ «D dz\

^/ 1 — ^» • • • » I r////i -1 Àf ^/ \ — ^»

dj dt \~ ' '"' I dr"i-' â/ de I au J ai \ au /„.

Elles expriment que parmi les 2/? — 2 points d'intersection de/ avec l'adjointe cp, de degré n — 3, autres que ceux <[ui se trouvent aux points multiples de /*, d'après la définition même des adjointes, mi coïncident avec ûf|, ..., m/ avec Uij etc.

Si nous avons, entre les polynômes S, 7 relations linéairement distinctes, nous aurons donc a- adjointes cp linéairement distinctes jouissant de la propriété précédente, et réciproquement.

602 SBGOlfDB PART». -— CflAPITR£ Vil.

Nous pouvons donc formuler la proposition suivante :

Théorème de Riemaitw-Roch. — Soient a<, ..., a^ q points quelconques {distincts ou non) ; c le nombre des adjointes d^ ordre n — 3 linéairement distinctes, qui passent par ces points.

Les /onctions rationnelles de Zj w, qui n'ont aucun pôle en dehors de ces points, dépendent linéairement de q — ^ 4- <T -h i constantes arbitraires, si q >/> — <t; elles se réduisent à une constante, si q ^p — o*.

556. Cherchons l'expression explicite de ces fractions rationnelles.

Soit d'abord o* >• o, et soit

l'adjointe la plus générale de degré n — 3, qui passe par les points a^^ .•., a^. On peut déterminer les constantes ^ de manière à la faire passer par <t — i nouveaux points choisis à volonté; mais le nombre total de ses intersections avec /" est 2/> — 2 ; on aura donc l'inégalité

Soient 6, , . . . , 6^' les points d'intersection de çi avec /, autres que a^ •••? cCç] et soit (r' le nombre des adjointes d'ordre n — 3 qui passent par 6| , . . . , 6^. La fonction rationnelle la plus générale, n'ayant de pôle qu'en ces points, contiendra q' — p -\- <r'4- i constantes arbitraires. Mais la fonction

qui en contient c, jouit évidemment de cette propriété ; on aura donc

Si nous échangeons dans le raisonnement les points ai, ...^ a^ et 6|, . . ., bçf nous trouverons de même

q — p -+- ff -f-i5<y

INTÉGRALES ABÉLIBNKB8. 6o3

ajoutant ces inégalités, et remarquant que q -h 5r'= ip — 2,

il vient

(j'-i- (j ^ cr -h (j'.

Donc les deux membres des relations précédentes ne peuvent être inégaux, et l'on a nécessairement

q^ — p H- a' 4- i = ff, ^ — /? -f- a -+- i = a'.

Soit maintenant

«p'= X', cp j 4- . . . -h Xff. (pi*

l'adjointe la plus générale qui passe par les points 6|, . . ., bq', La fonction rationnelle

ne pourra devenir infinie qu'aux points «i, . . ., a^, et contiendra le nombre voulu de constantes arbitraires pour être la plus générale de cette espèce.

557. Soit maintenant 7 = 0. En prenant m assez grand, nous pourrons déterminer une adjointe <E> d'ordre n — 3-f-m passant par les points a^ ..., a^. Elle coupera f en mn H- 2/> — 2 — q autres points ô» , 62, .... Soit ^ l'adjointe du même degré la plus générale parmi celles qui passent par les points b\ elle contiendra encore (au moins) q — />+i pa-

ramètres arbitraires. D'ailleurs — ne devient infinie qu'aux

points a,, ..., a^. Ce sera donc la fraction rationnelle cherchée, et le nombre des paramètres sera précisément gr — p-^i,

558. Soit, en particulier, y =/? -4- i . On pourra prendre pour ^ une adjointe de degré n — 2 ; ^ contenant deux paramètres sera de la forme X<E» -h Xi ^1, et l'on aura

La fonction -^ ajant/> -f-i pôles «i, ..., CLpjf.K prendra une

6o4 SBGONDB PARTIS. — CHAPITRE VII.

valeur donnée - en p 4- i points

Ces points seront évidemment ceux des points d'intersection des courbes

y— O, *--[X*,z:ro

qui varient avec |a. Pour p. = o, ils se confondent respectivement avec Gi, ..., ap^i] lorsque |x varie, ils décriront des lignes L|, ..., L^^.*; et l'on aura, d'après le théorème d'Abel,

SX'

ou, en difTérentiant,

ÔUi

Ce système d'équations différentielles, joint aux relations /(;;,, M,) = 0, ..., f(Siyiii) = o,

et aux conditions initiales

(Ç/, U|- étant les coordonnées du point a/), suffit, comme nous le verrons dans la théorie des équations différentielles, à définir i;.^? ^2} *•• en fonction de ^|.

Mais on peut établir entre ces variables un système de relations algébriques équivalent au précédent. En effet, les fonctions symétriques des coordonnées ^<, W|, ..., Zp^i^ Up^i sont évidemment rationnelles en jx, qui, lui-même, en vertu de la relation

"^ii^l^ Ih) »l(^/l-4-l, ^p-t-l) S»l(^ô «/)

est une fonction de même nature.

INTÉGRALES ABÉLIBNNB8. 6o5

Les équations ainsi obtenues, entre les fonctions symétriques de Zif £<i, ^29 '^21 ""> ont leurs coefficients rationnel par rapport à ceux de ^, ^4, lesquels sont évidemment rationnels et symétriques en J^i, U|, ^2? ^2? • • • • Par Téliminalion de ces dernières constantes, on retrouverait les équations diiTérentielles.

559. Parmi les intégrales F^, an moyen desquelles nous avons exprimé toutes les intégrales réduites de seconde es> pèce, la plus simple est celle où u = 1 . Nous l'appellerons V intégrale élémentaire de seconde espèce. On peut la mettre (548) sous la forme suivante

(7) Pi =

71 r*ad=

la désignant la tangente à / au point a, et ^a une adjointe convenable de degré n — 2 (passant évidemment par les // — 2 points d'intersection de /et de A.^ autres que a). Ses secondes périodes rf^^ seront données par la formule

(8) .L.di, = -f^'^\.

Soient aij .,,<, ap p points quelconques non situés sur une même adjointe de degré n — 3. Le déterminant des p^ périodes da^f^ ne sera pas nul.

560. Toute intégrale réduite I de seconde espèce pourra se mettre sous la forme

(9) I = X,Fi.-4-...^-X^Fi^-hR, R désignant une fraction rationnelle.

Soient, en effet, 5|, . . ., S^ les secondes périodes de F. Si nous déterminons les constantes X par les relations

6o6 SBGONDB PARTIE. — CHAPITRE VII.

l'intégrale R, définie par la relation précédente, aura toutes ses périodes cycliques nulles. Elle sera donc rationnelle.

561. Intégrales de troisième espèce. — Une intégrale de troisième espèce admet au moins deux points critiques logarithmiques, la somme des résidus devant être nulle.

Nous appellerons intégrale élémentaire de troisième espèce, et nous représenterons par G* l'intégrale réduite qui a deux pôles a et 6, et dont les développements aux environs de ces deux points ont respectivement pour partie infinie — log/ et 4- log^.

Cette intégrale pourra se mettre sous la forme

(lo) G',=

A^^ désignant la droite qui joint les points a, 6, et ^ab une adjointe de degré n — a (laquelle devra passer par les /i — a points d'intersection de A^* et dey autres que a, 6).

Soient dab%j • • •? dabp ses secondes périodes cycliques. En appliquant la formule (lo) du n° 538 aux intégrales Ea et G*, on trouvera

La même formule, appliquée à FJJ et à G*, donne

Appliquée à G* et G^, elle donne

o==(G*)p-(G2)a-(GP).+ (Gg)., ou

(.3) / rfG*= / rfGg

INTÉGRALES ABfiLIENNBS. 607

(les intégrales étant prises suivant des lignes qui restent dans la région délimitée par ]e contour K et les lacets des points a, b, a, ^, région dans laquelle les intégrales G^ et G^ restent monodromes).

Enfin, le théorème d'Abel (543), appliqué à l'intégrale G* , donnera, en désignant par 2^o, Uq et 2^4, U| les coordonnées des points a et 6,

562. Toute intégrale abélienne I est la somme d*une fonction linéaire dHntégrales élémentaires de troisième espèce et d'aune intégrale de seconde espèce.

Soient, en effet, ai, ..., a^ les points critiques de I, A|, . . ., ).^ les résidus correspondants. Posons

i = x,G:;;-+-...-hX^G:;f4-R.

La fonction complémentaire R n'ayant plus de périodes polaires (en vertu de Téquation ^.4 + . . . -f- X^= o ) sera une intégrale de seconde espèce.