IV. — Inversion

563. Soient ax=^{z^^u^)^ ..., ap^={zp, Up) p points mobiles, partant des positions initiales «10= (^10» Wio)? • • •? apo=^{zpo^ Upo) ; et soient comme précédemment

Ea— / ^^ (^'=1, ••.,/>)

/?kdi H du

les p intégrales normales de première espèce. Soient enfin ^1, ..., e;, de nouvelles variables, liées aux premières par les relations

Ldi d/{zi,Ui) àui

Go8 SECONDE PARTIE. — CHAPITRE VII.

On en déduit par rintégralion (2) \ \ dE^—Ck—ei^ (A- = I, ...,/>),

\ I clEk^ei — ei

L/ désignant la ligne décrite par le point a^, et e^o la valeur initiale de ei,.

Si Ton fait varier les lignes Lj sans changer leurs extrémités, on obtiendra pour chaque position des points ^i

dp une infinité de systèmes de valeurs pour ei, . • ., e^. En désignant Tun d'eux pare,, . . ., e^, ils auront évidemmeot pour forme générale

ek — ^i -H ^x 4- \ /i/^*/ ,

dfci^ ..., dj^p étant les secondes périodes cjcliques de £«. et gkj ht des entiers positifs ou négatifs.

564. Le problème dHnversion des intégrales abélîenne? consiste à trouver réciproquement l'expression des qx]antilé> j/, iii en fonction de ei, ..., e^, considérées comme \ariahles indépendantes.

Étudions la marche de ces fonctions aux environs A^ point (^40) • • •) ^/7o)« Les quantités ^z, Ui étant voisines d< ^/n? Uio pourront être développées suivant les puissance

d^ entières et croissantes d'un même paramètre /,•; et — — ■

restant fini pour ^i = o, admettra un développement ea puissances entières et positives, tel que

d¥^ dti

— a& -h (l'kiti -h nlit] -\-

Les nouvelles variables ti seront des fonctions implicite^ de (?!, . . . , Cpj déterminées par les équations

3) \ / («îi-+-aii^,-f-...)^^i— («*— <îAo) = o (A-z=i, .../> Le jacobien des premiers membres par rapport aux va-

INTÉGRALES ABÉLIKNNBS. 609

riables ti sera le déterminant D des quantités

Pour ti=z. . . = ep=z o^ D se réduit au déterminant D© des quantités aj^^-.

Si Do n'est pas nu), les équations précédentes définiront effectivement (t. I, n** 191) des fonctions /|, . . ., r^ des variables ei, . • . , e^, lesquelles fonctions sont synecliques aux environs du point (^lo? • • •) ^po)'