CHAPITRE VU
Prenons pour nouvelles variables, au lieu de /|, . . ., Z^, les sommes de puissances semblables
Le jacobien de 54 , . . . , s^ par rapport à /|, . . . y t^ sera
ff-'
= tx!P.
Le jacobien des premiers membres des équations (3) par rapport aux nouvelles variables s^^ . . . , 5(jl, ^ix+i, . . .,
tp sera donc — fD'? et si D'^ n'est pas nul, 5,, ..., 5ji,
'{H-lï
, tp seront aux environs du point (^lo) . . ., e^o) des fonctions synectiques de Ci , . . . , e^ ; et ^i , . . . , f|jt seront les racines d'une équation algébrique, à coefficients sjnectiques.
La condition D'= o exprime d'ailleurs qu'il existe une adjointe © = X| Çi -1-... H-Xp^p^ passant par les points a^^^^^^
a^^o 6^ satisfaisant, en outre, aux relations
\ ^k^î\—Oy ..., \ X^aJ;-*=io,
lesquelles expriment que [jl de ses points d'intersection avec/ sont concentrés au point «< 0 = • • • = <^po«
566. Nous avons ainsi élucidé la nature des fonctions /, , . . ,y tp aux environs du point {e^^^ . . . , e^yo) sous la seule condition que les points a^^^ . . ., a^o ^^ soient pas sur une même adjointe cp de degré n — 3.
Soit ij une fonction rationnelle de z^ u^ qui ne devienne infinie en aucun des points a^^^ . . ., a^o- Aux environs du point a/o, on aura pour if{zi^ Ui) un développeinent en puissances tel que
INTÉGRALES ÂBÉLIBNNE8. 6 ri
Les sommes S|, S^, <•• des puissances semblables des |uantités ^{zi, ui) seront donc des fonctions synectiques de , , . , . j tp^ D'ailleurs si «i o = «20 = . . . ^= a^o, les dévelop- >ements de 4'(^«î ^i)y • • •> ^{^\l9 ^(i) auront les mêmes coefîcients. Les développements de S|, S2, ... ne contiendront lonc tf, . . ., t^ que par les sommes ^i, 5a, ... de leurs 3uissances semblables, qui sont synectiques en e«, . . ., Cp.
Donc S4 , Sa , . . . seront elles-mêmes synectiques en «i , . . . , Cp.
Si, contrairement à ce que nous avons supposé en premier lieu, ^(^, u) devenait infini en quelqu'un des points aïo, • • -, ftpo tel que a^Q^ le développement de Sf, Sa, • • • contiendrait des puissances négatives de tf (ou, si aio = . • •= «(jlo» des sommes de puissances négatives semblables de /|, . . ., ty,) lesquelles sont des quotients de fonctions synectiques.
Donc toute fonction rationnelle symétrique Q des quantités ^(-5/, Ui) sera aux environs du point (cio, . . m^/^o) une fonction synectique de ^i, . . ., e^, ou un quotient de fonctions synectiques.
On donne à ces fonctions Q le nom de fonctions abétiennes,
567. Faisons varier e^^ . . . , e^ à partir de leurs valeurs initiales^ on pourra suivre de proche en proche le mouvement dos points ai, . . . , a^ et la variation des fonctions Q. On ne se trouvera arrêté que lorsque les points «i, . . ., «^ atteindront des positions a\^ . . . , a' telles qu'ils soient situés sur une même adjointe de degré n — 3.
Il est aisé de déterminer les valeurs e', , . . ., e' des variables indépendantes pour lesquelles cette circonstance se produira. Considérons en effet une adjointe variable, déterminée à chaque instant par la condition de passer par les points ai, ..., Up^i. Dans sa première position cpo, elle coupera / aux points «lo, . . ., a/ï.i,o et en p — 1 autres points ^0, ^1, . .., i%-2. Dans sa position finale cp, elle la coupera aux points a\^ . . ., a' et en /> — 2 autres points
C?| , • • • , Op 2-
6l3 8BG0NDB PÀRTIB. — CHAPITRE Tlf.
On aura, d'après le théorème d'Abel,
(4) y CdEf,-^ rdEj^^y f'dEjk^o.
On a d'autre part, d'après l'équation qui définit e^,
(5) 2j J ^^=^*~^*o (A: =1,2, ...,/?). On en déduit
Ces systèmes de valeurs singuliers des quantités €k ne dépendent, comme on le voit, que dep — 2 points variables 6..
568. Réciproquement tout système de valeurs e\y - • ., ^^ défini par les relations (6) constitue, quels que soient le> points 6/, un point d^ndé termina ti on commun à toutes les fonctions abéliennes.
En efl^et, parles p — 2 points 6|, nous pouvons faire passer un faisceau d'adjointes de degré n — 3. Soient <p l'une quelconque d'entre elles, a', , ..., a' ses autres points d'intersection avec /. Faisons décrire aux points mobiles a^ . . ., a^ do lignes quelconques Li, . . ., L^ partant de aïo, • • •, Qp$ •'t aboutissant ka\f . .., a . Les fonctions e^ définies par les équa* tions ( 2) varieront suivant une loi déterminée et leurs valeur> finales e'j^ seront données par les formules (5), ou, en verln des équations (4), parles formules équivalentes (6), lesquelles sont indépendantes de l'adjointe particulière op que l'on a choisie. Si donc, considérant les Ck comme variables indépendantes, nous les faisons varier de e^Q à e'j^ suivant une loi convenable, les points a^ . .., Up viendront aux posilioD? finales a',, ..., a^. Or celles-ci, variant avec le chois de l'adjointe f, sont indéterminées.
INTÉGRALES ABÉUENNB8. 6l3
569. Les fonctions abéliennes sont uniformes. Nous établirons cette proposition en montrant leur identité avec d'autres fonctions, uniformes par leur définition même* Nous résoudrons en même temps le problème de l'inversion, en donnant leur expression explicite en fonction de
