Soient

p variables complexes indépendantes ;

des constantes complexes en nombre p^; /ni , . . . , nip des entiers réels, variables de — oo à -h 00. Désignons par (p la forme quadratique

jLdkl

par if la forme linéaire

^~Zu ^'^*^*'

et considérons la série

Elle sera absolument convergente, si la forme

Luki

est toujours positive (sauf si tous les m sont nuls). Posons en effet

Le terme général de la série 0 aura pour module ^,-ît(<|//+4/'0. Or si les indices m^^ ..., m^, ou seulement quelquesruns d'entre eux, croissent indéfiniment, <f -^r ^'

6j4 seconds partie. ~ GHAPITKE Vil.

tendra vers oo. et la série \ (f''-f- Y)~^ sera convergente, si

[ji > -^ (t. 1, n° 318). A plus forte raison la série \e-^^^-^'

dont les termes décroissent plus rapidement.

Si l'on dérive terme à terme la série 6 par rapport à l'une des variables ç, on obtiendra de nouvelles séries, dont la convergence s'établit de même. Donc 6 sera une fonction analytique de i'i, . . . , Vpj uniforme et entière.

571. Elle est paire, car elle n'est pas altérée, si l'on y change le signe des variables, pourvu que l'on change eu même temps le signe des indices de sommation.

Elle reste également inaltérée, si l'on accroît de Tunité une des variables ç^^ , . . . , p^, ; car son terme général se reproduit, multiplié par une puissance de 6^"^= i.

Remplaçons enfin un des indices de sommation, tel que m/, par m/ — i , et changeons en même temps Vt, . . . , t?/, en ^i + rfi/, .-•? Vp-\-dpi\ (p-|-<|;serachangéen<p-h'j^'— 2C7 — rf//. Nous obtenons donc la relation

Donc, si nous remplaçons plus généralement t^i, . . ., \rp par de nouvelles quantités v\y . . ., v'p définies par les relations

(9) ^''k—^k-^gk^\h,dkh k — i, ..., py

gk et hi étant des entiers, B se reproduira, multiplié par un facteur exponentiel.

Nous dirons que deux systèmes de quantités v' et v\ lié< par des relations de la forme (9) sont équwalents; et nous représenterons l'équivalence par le signe ^.

572. On peut prendre pour constantes dki les secondes périodes cycliques des p intégrales normales de première espèce E^, . . . , E^. Elles satisfont en effet (551 ) à la relation

INTÉGRALE ABÊLIBNNBS. 6l5

dki^^dik» U faut en outre, pour la convergence, que la forme ç'' soit positive. Mais cette condition sera également remplie.

Considérons en effet l'intégrale de première espèce

Ez=:/n,Ei-+-.. .4-/npEpZ= P4-Q/.

Ses périodes cycliques sont, pour la première moitié,

st pour la seconde moitié

L'intégrale / PrfQ sera positive (527). Or nous avons

:,rouvé (535) l'expression de cette intégrale; ici elle se réluit à

ni^{ni^d\^ -h. . .-f- nipdp^ ) + . . .

■+- nipim^d'^p-h. . .-h mpdpp)=z^^.